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Lineares Gleichungssystem - Matrizen - Parameterform
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Vanessa05
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 14:03:28    Titel: Lineares Gleichungssystem - Matrizen - Parameterform

Hallo Smile
Ich hab da eine Aufgabe, mit der ich einfach nicht zurecht komme.

2x1 + 4x2 + 8x3 = 2
4x1 + 10x2 + 2x3 + 2x4 = 2
x1 + 3x2 - 3x3 + x4 = 0
3x1 + 8x2 - 2x3 + 2x4 = 1

Ich soll dieses Gleichungssystem lösen. Ich habe es als Matrix geschrieben und kam dann auf das Ergebnis:

2 4 8 0 2
0 2 -14 2 -2
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0

Rang A = Rang (A,b) < Anzahl der Variablen
Rang (A) = 2
Rang (A,b) = 2
-> unendlich viele Lösungen

So also hab ich nun noch zwei Gleichungen übrig und zwar:

2x1 + 4x2 + 8x3 = 2
2x2 - 14x3 + 2x4 = -2

Die Lösung der Aufgabe soll lauten:
Vektor x = (3,-1,0,0) + r(-18,7,1,0) + s(2,-1,0,1)

Und wie mach ich jetzt weiter und vor allem, wie schreibe ich die Matrix dann in Parameterform?

Vielen lieben Dank im Voraus,
Vanessa
starzfighter
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Anmeldungsdatum: 29.07.2005
Beiträge: 78

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 16:46:25    Titel:

I) 2x1 + 4x2 + 8x3 = 2
II) 4x1 + 10x2 + 2x3 + 2x4 = 2
III) x1 + 3x2 - 3x3 + x4 = 0
IV) 3x1 + 8x2 - 2x3 + 2x4 = 1

2*I-II außerdem die erste mit 2kürzen
I) x1 + 2x2 + 4x3 = 1
II) -2x2+14x3=2
III) x1 + 3x2 - 3x3 + x4 = 0
IV) 3x1 + 8x2 - 2x3 + 2x4 = 1

die 2te nach x auflösen:
=> x2=7x3-2
nun die Gleichung in die I einsetzen
x1 +14x3-4 + 4x3 =1
=> x1=-18x3+5
Nun die beiden Gleichungen in 3 oder 4 einsetzen
III)
-18x3+5+3*(7x3-2)-3x3+x4=0
-21x3+21x3-6+x4=-5
x4=1

=>
x1=-18x3+5
x2=7x3-2
x3=x3
x4=1
x3 ist frei wählbar wegen den unendlich veilen Lösungen setzt man das Ganze in Abhängigkeiten von einer Variable
Lösung ist also der Vektor V={x1,x2,x3,x4} bzw
V={-18x3+5,7x3-2,x3,1}

irgendwie kann man die vektoren auch anders aufschlüsseln dann kommt deins da raus.

r(-18,7,1,0) + s(2,-1,0,1)
den Teil sieht man ja drin im V Vektor. Die x allerdings nicht. Sry weiss da auch net weiter.
Vanessa05
Newbie
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Newbie


Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 18:25:07    Titel:

Àlso, ich hab das jetzt nochmal durchgerechnet und jetzt hab ich raus:
x1 = -18x3 + 3
x2 = 7x3 - 1
x3 = frei wählbar
x4 = 0

okay, also daraus sehe ich ja:
vektor x = (3,-1,0,0) + r (-18,7,1,0)
aber woher bekomm ich jetzt s(2,-1,0,1) ???
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