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Potenzmenge - Beweis
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Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 17:16:22    Titel: Potenzmenge - Beweis

Ich weiß echt nicht mehr weiter!
Hab folgende Aufgabe, die ich bearbeiten muss:

Sei M eine Menge mit n E |N Elementen. Zeigen Sie:
Die Potenzmenge P(M) hat 2^n Elemente.

Mir ist das von der Vorstellung so klar, warum das so ist, und deshalb regt mich das umso mehr auf, dass ich einfach nicht auf eine gescheite Lösung komme... Also ich weiß nicht, wie ich hieraus einen anständigen mathematisch korrekten Beweis schreiben kann.
Habt ihr eine Idee?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 17:59:16    Titel:

Das geht per Induktion über die Anzahl der Elemente. Hilft es weiter?
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 18:13:59    Titel:

Naja, ich sag mal so: es hilft mir nciht wirklich weiter, da ich das eignetlich schon wusste. Das haben wir nämlich als Thema für den gesamten Übungszettel. Aber ich hab einfach kene Idee, wie ich das damit beweisen soll... Ich probier hier schon die ganze zeit alles mögliche. Hab auch schon ganz viele lustige "zeichnungen" angefertig.. eigentlich sollten es gar keine zeichnungen werden, aber so viele Pfeile (ich versuche lediglich zu denken Wink ) und was weiß ich nciht alles, wie heir schon auf meinn 1000 Zetteln sind, ähnelt das bald einem Gemälde von Picasso Wink
Kanst du mir vielleicht irgendeinen kleinen weiteren Tipp geben?
Das wär super nett!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 18:26:50    Titel:

Nach dem ich den Beweis geschrieben habe fällt mir gerade ein, was ich hätte als Tipp schreiben können. Für eine endliche Menge A mit |A| > 0 gilt

P(A) = P(A \ {a}) vereinigt mit { S vereinigt {a} | S in P(A \ {a}) }.

Versuche als, wenn Du den Beweis nicht sehen willst das mit dem Tipp. Der nächste Tipp ist leider bereits der Beweis Smile

Beh.: Sei A eine Menge mit |A| = n. Dann gilt |P(A)| = 2^n.
Beweis: Induktion über die Anzahl der Elemente. Für |A| = 0 gilt A = {} und |P(A)| = |{{}}| = 1 = 2^0. Gelte Die Aussage für ein 0 < n in lN. Betrachte für den Fall n+1 eine Menge A mit |A| = n+1. Dann ist die Menge nicht leer und es gibt ein Element a in A. Sei M = P(A \ {a}) mit |M| = 2^n nach Induktionsannahme. Dann ist nach dem Bildungsgesetz für Potenzmengen für endliche Mengen

P(A) = M vereinigt { S vereinigt {a} | S in M }.

Es gilt somit, da die beiden obigen Mengen in der Vereinigung disjunkt sind, |P(A)| = |M| + | { S \ {a} | S in M}| = 2^n + 2^n = 2^(n+1). qed
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 29 Okt 2005 - 18:36:33    Titel:

So, ich hab mir deinen Beitrag kopiert, und das untere alles rausgeschnitten. Jetzt probier ich das erstmal mit deinem Tipp. Das MUSS ja irgendwie gehen. Ich sag schonmal Danke für deine Hilfsbereitschaft!!!!1
* T H X *
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