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Extremalprobleme
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x-lena-x
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 13:54:57    Titel: Extremalprobleme

hallo! ich habe in der Schule eine Aufgabe aufbekommen, bei der ich keinen Ansatz finden kann Sad (Hauptbedingung, Nebenbedingung) um die Zielfunktion herauszubekommen.

Aufgabe: Ein Rundzelt hat die Form eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel. Der Zylinder ist 5m hoch. Die Mantellinie des Kegels beträgt 9m.
Wie groß muss der Öffnungswinkel des Kegels gewählt werden, wenn das Luftvolumen des Zeltes maximiert werden soll?

Ihr würdet mir sehr helfen mit euren Tipps Exclamation
( von der Lösung wär ich auch nicht abgeneigt Smile
halg
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Anmeldungsdatum: 07.06.2005
Beiträge: 1007

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:23:23    Titel:

H=5m, s=9m
Hauptbedingung: Zylinderradius=Kegelradius, Gesamtvolumen muss maximal sein.

Zylinder: V = pi*r²H
Kegel: V = 1/3*pi*r²h
Gesamtvolumen: V = pi*r²H + 1/3*pi*r²h = pi*r²(H + h/3) <----- Funktion zweier Variablen, V(r,h)

Öffnungswinkel des Kegels = alpha , 0 < alpha < pi
x = alpha/2 , 0 < x < pi/2

Nebenbedingung:
h = s*cosx
r = s*sinx

V(x) = pi*s²*sin²x(H + s/3*cosx) <----- Zielfunktion

V´(x) = pi*s²*(2sinxcosx(H + s/3*cosx) - sin²x*s/3*sinx)
V´(x) = 0
2sinxcosx(H + s/3*cosx) - sin²x*s/3*sinx = 0
2cosx(3H + s*cosx) - s*sin²x = 0
6H*cosx + 2s*cos²x - s*(1-cos²x) = 0
6H*cosx + 2s*cos²x - s + s*cos²x = 0
6H*cosx + 3s*cos²x - s = 0
cos²x + 2H/s*cosx - 1/3 = 0

cosx = z
2H/s = 10/9

z² + 10/9*z - 1/3 = 0
z = -5/9 ± sqrt(25/81 + 1/3)
z = -5/9 ± 2/9*sqrt(13)
z = (2*sqrt(13) - 5)/9 = 0,245678
cosx = 0,245678
x = 1,3225772
alpha = 2x = 2,6451544 = 151,556°
x-lena-x
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:33:03    Titel: Extremalprobleme

Großes Dankeschön an halg!!!!!!!!!!
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