Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Gruppe und Assoziativität
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Gruppe und Assoziativität
 
Autor Nachricht
nebben
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 14:51:54    Titel: Gruppe und Assoziativität

Hallo

Ich habe eine Gruppe G € {0,1,2,3} gegeben durch



Wie zeige ich mit Fallunterscheidung, dass G assoziativ ist?

1.Fall: x+y <= 3
x+y ist immer assoziativ.

2.Fall: x+y>3
x+(y-4)=(x+y)-4=x+y-4
Wie geht das hier, bitte?

gruß nebben
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 15:10:32    Titel:

Zitat:
x+y ist immer Assoziativ


Wo hast Du den Unsinn her? Assoziativität hat was mit 3 Elementen zu tun! Und ja, es ist eine hässliche und undankbare Arbeit das hier nachzuweisen. Ich würde daher folgenden Vorschlag von mir, den Du bereits bekommen und erfolgreich ignoriert hast, verwenden:

Die Addition, die Du hier definiert hast ist die von Z/4Z.

Das ist leicht zu zeigen. Und in Z/4Z ist die Addition assoziativ, was ebenfalls sehr einfach ist.
nebben
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 15:50:27    Titel:

Hallo

Ich meinte muss man für x+y zeigen, dass es assoziativ ist, weil es nur zwei sind?

Wann habe ich deinen Vorschlag ignoriert?

Was ist bitte Z/4Z ?

Wie zeigt man da was?
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 16:03:29    Titel:

Zitat:
Ich meinte muss man für x+y zeigen, dass es assoziativ ist, weil es nur zwei sind?


Und nochmal: Die Frage bzw. das Vorhaben macht so keinen Sinn! Man braucht jeweils drei Elemente für die Assoziativität nicht zwei. Schau mal nach, was Assizativität bedeutet.

Du weißt nicht was Z/4Z ist? Hmmm. Die Menge der Äquivalenzklassen bezüglich der Teilbarkeit durch 4. Das Ding hat 4 Elemente: [0] - die Klasse der durch 4 teilbaren ganzen Zahlen, [1] alle solche ganze zahlen x mit x -1 ist durch 4 teilbar usw. Z/2Z ist die Unterteilung von Z in gerade und ungerade Zahlen. Darauf sind Operationen + und * so definiert, dass eingeschränkt auf 0,1,2,3 + und * genau deine Verknüpfung darstellt. 2 + 3 ist 2+3 mod 4 = 5 mod 4 = 1. Und Z/4Z bildet eine kommutative Gruppe!
nebben
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 16:42:37    Titel:

Hallo

Danke für deine Antwort. Ich glaube ich konnte sie ein bisschen nachvollziehen, wohl nur bis zu dem springenden Punkt.

Meine Verknüpfung ist die Addition von Z/4Z, da wenn man in Z/4Z einschränkt auf 0,1,2,3 und * ergibt sich

2+3=5=2+3 mod 4
5 mod 4 = 1

Kannst du mir bitte erklären, weshalb man daraus die Assoziativität beweist?
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 17:01:30    Titel:

Beh: In Z/4Z gilt x + (y+z) = (x+y) + z.
Beweis: Wähle [x],[y] und [z] in Z/4Z mit beliebigen Repräsentanten x,y,z in Z. Zunächsteinmal gilt dann x + (y+z) = (x+y) + z in Z, weil ganze Zahlen mit Addition eine Gruppe bilden. Weiterhin prüft man leicht nach, dass in Z/Z4 die Addition [x] + [y] = [x+y] von der Wahl der Repräsentanten unabhängig ist. D.h. in Z/4Z gilt [x] + ([y]+[z]) = [x + (y+z)] = [(x+y)+z] = ([x]+[y]) + [z]. qed

Die Unabhängigkeit von der Repräsentantenwahl geht so

Beh: In Z/4Z gilt [x+y] = [x] + [y] unabhängig von Repräsentanten x,y in Z.
Beweis: Seien x,y in Z mit [x+y] = [x]+[y] und x',y' in Z mit [x]=[x'] und [y]=[y']. Z.z. ist [x'+y'] = [x+y]. Es gilt x = 4 xs + xr und y = 4 ys + yr und x' = 4 xs' + xr' und y' = 4 ys' + yr' für 0 <= xs,xr,xs',ys' < 4. Dann folgt aus x mod 4 = x' mod 4 auch xr' = xr und analog yr' = yr. Es gilt dann (x+y) mod 4 = (4 xs + xr + 4 ys + yr) mod 4 = (xr + yr) mod 4 = (xr' + yr') mod 4 = (4 xs' + xr' + 4 ys' + yr') mod 4 = (x' + y') mod 4. Also gilt [x+y] = [x'+y']. qed

Das ist alles aber Grundwissen. Nicht Teil der Aufgabe. Macht man normal in Linearer Algebra im ersten Semester.
nebben
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 18:27:40    Titel:

Du bist der algebrafreak.
nebben
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:23:05    Titel:

Hallo



gruß nebben
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Gruppe und Assoziativität
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum