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Tupel und Induktion
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Typvonwonixis
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 19:32:34    Titel: Tupel und Induktion

hi leutz, ich bin erstsemester informatik und wie viele von euch wissen is der start in die uni-mathematik relativ (gibt ja solche und solche leute) schwer. deshalb hoffe ich dass ihr mir bei 2 meiner aufgaben helfen könnt.

1. für die Nat. Zahlen n,k >= 1 soll ich zeigen: das die Anzahl aller K-Tupel der Menge {1...n} n^k ist...
2. durch voll. induktion beweisen dass sich jede zahl n>= 2 als produkt von primzahlen schreiben läßt...

ich bin für lösungen dankbar, aber auch für ideen wo/wie man ansetzen könnte, was wichtig ist usw.

danke schon mal an alle im voraus
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 19:43:57    Titel:

also aufgabe 1 ist echt nich schwer - ausser du hast nich verstanden, was da eigtl gefragt ist Smile probiers einfach mal für kleine n und k aus, wieso das stimmt (alle tupel aufschreiben).

aufgabe 2: hast du schonmal voll. induktion benutzt?
die behauptung ist ja: alle zahlenn>=2 lassen sich als produkt von primzahlen schreiben.
induktionsanfang: n=3 => selbst machen...
induktionsvoraussetzung: behauptung gelte für alle zahlen kleinergleich n.
induktionsschritt: zu zeigen: die behauptung gilt dann auch für alle zahlen kleinergleich n+1. also musst du es nur noch für n+1 zeigen.
das schaffst du auch selbst.

dann bist du schon fertig Smile
Typvonwonixis
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 19:58:23    Titel:

zu 1) hab ich hab ich, zum Bleistift 2^2 = 4 und die dazugehörigen Tupel sind (mein ich jedenfalls ^^) (1,2)(2,1)(1,1)(2,2)
also Ind.Anfang is ja kein problem, aba wie ich den Induktionsschritt n->n+1 hinkriegen soll is mir n rätsel. es hat bestimmt was mit dem Binomischenkoeffizienten zu tun oder? das hab ich im Urin... ne, ich weiß zB (n über k) = n^k aber ka wie man darauf kommt und das müsste ich (denk ich) wissen um die induktion zu vollziehen

zu 2) jo hab ich
zum IA) n=3? huh? 3 is doch ne primzahl... (3=3??) ich hätte n=4 genommen 4 = 2*2, wieder is der Ind.Anf. nicht schwer
zur IV) warum alle zahlen <= n, ich würde sagen für alle >= n (was n+1 ja auch bedeutet)
zum IS) mal abgesehen vom <= n+1, jo und wie mach ich das? ich brauch doch irgendeine gleichung oder irgendeine substanz die ich induzieren kann, oder nich?
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 20:22:29    Titel:

(n über k) ist nicht = n^k Smile

(5 über 2) = (5*4)/(2*1) = 20/2=10.
5^2=25.

mach doch induktion über k. so hätte ich es gemacht.

Zitat:
zum IA) n=3? huh? 3 is doch ne primzahl... (3=3??) ich hätte n=4 genommen 4 = 2*2, wieder is der Ind.Anf. nicht schwer


ob das ne primzahl ist oder nicht, macht kein unterschied. genaugenommen müsstest du mit der 2 anfangen, weil dafür die behauptung gilt.

Zitat:
warum alle zahlen <= n, ich würde sagen für alle >= n (was n+1 ja auch bedeutet)


warum gerade alle zahlen <=n? so geht es halt Smile du wolltest tipps, wenn du es anders versuchen magst, bitteschön. beweise sind selten eindeutig - d.h. probiers ruhig anders - wenn dus hinbekommst gut, ansonsten probiers so wie ich gesagt hab.

Zitat:
mal abgesehen vom <= n+1, jo und wie mach ich das? ich brauch doch irgendeine gleichung oder irgendeine substanz die ich induzieren kann, oder nich?


wieso willst du ne gleichung? für die induktion brauchst du nur eine zahl, die in einem zusammenhang steht. dieser zusammenhang kann wie in diesem fall eine "behauptung" (für alle zahlen kleinergleich n gilt bla...) sein oder auch eine gleichung (zb f(n)=35 ) o.ä.
das muss aber keine gleichung sein.



das prinzip des induktionsbeweises ist ja: wenn die behauptung für alle zahlen <=n stimmt, und du beweisen kannst, dass sie DANN auch für n+1 stimmt - dann stimmt sie für alle zahlen kleinergleich n+1. und weil das n ja beliebig gewählt war, gilt sie deshalb auch für n+2, n+3 usw., also für alle zahlen, fertig. das musst du im kopf behalten Smile
Typvonwonixis
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 20:46:15    Titel:

Zitat:
(n über k) ist nicht = n^k

Embarassed

Zitat:
induktionsvoraussetzung: behauptung gelte für alle zahlen kleinergleich n.


ich will dich doch nicht kritisieren (vorallem weil du mir helfen willst ^^), aber das macht keinen sinn für mich. Gegenbeweis - wenn die behauptung für alle zahlen <= n gelten würde, müsste sie auch für 1 gelten und 1 lässt sich doch nicht als produkt von primzahlen schreiben (oder?)
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 20:49:46    Titel:

natürlich meinte ich: für alle zahlen kleinergleich n und größergleich 2 Smile das stand ja auch in der voraussetzung, deshalb hab ich das weggelassen. hast aber recht, das müsste man korrekterweise dazuschreiben.
Typvonwonixis
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:16:20    Titel:

ach so, jetzt weiß ich was du meinst mit <= n (kurzzeitige gehirnverkalkung meinerseits Laughing )

ok, aber insgesamt steh ich immernoch auf den schlauch. ich versteh ja dass ich jede der aufgaben löse, wenn ich zeige das die aussage nicht nur für eine zahl "n" gilt sondern für alle zahlen also "n+1" aba zB bei den Primzahlen kann ich das doch nur, wenn ich zeige, dass jede zahl "n" nur die primzahlen und 1 als teiler besitzt, wobei 1 als teiler jeder natürlichen zahl kein großes problem darstellt, die primzahlen schon eher.

kleine bitte, könntest du dir kurz meine thread "is das rischtisch" ansehen und mir sagen ob ich irgendwas vergessen hab (außer der beschreibung für dich ich beim rumrechnen keine lust hatte ^^)
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:24:43    Titel:

also das prinzip der induktion nochmal:

die behauptung gilt logischerweise für n=2.
für n=3 gilt sie auch, für n=4 auch.

wenn du jetzt beweisen kannst, dass aus "behauptung gilt für n" folgt "behauptung gilt für n+1", dann gilt sie auch für n=5 (weil 5=4+1), udn dann auch für 6 (6=5+1) usw, also gilt es für alle zahlen.

induktionsschritt:
n+1 ist eine zahl. entweder es ist eine primzahl oder nicht. wenn n+1 eine primzahl ist, dann bist du fertig, induktionsschritt bewiesen.
wenn n+1 keine primzahl ist, dann hat sie einen teiler (kleiner als n+1), und du kannst dann schreiben n+1=a*b mit a und b <=n.
nach induktionsvoraussetzung sind a und b aber produkte von primzahlen, und damit auch n+1 ein produkt von primzahlen. fertig Smile
Typvonwonixis
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Anmeldungsdatum: 30.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 30 Okt 2005 - 21:36:39    Titel:

^.^! hinterher ist es so leicht. danke dir für deine geduld, ich lass mir den thread nochmal auf der zunge zergehen...
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