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Nullteilerfreiheit von Vektorräumen
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BBB
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 00:24:58    Titel: Nullteilerfreiheit von Vektorräumen

Wie kann ich beweisen, dass jeder reelle Vektorraum nullteilerfrei ist? Komme da nicht so ganz voran... Confused Sad
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 00:41:41    Titel:

das ist eine sehr merkwürdige aufgabestellung Smile

bei nullteilerfreiheit geht es um eine multiplikation von elementen zb in einem ring. in einem vektorraum hingegen kann man nur selten die elemente miteinander multiplizieren...
BBB
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Anmeldungsdatum: 28.10.2005
Beiträge: 303

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 08:06:07    Titel:

Sorry, das bezieht sich auf die skalare Multiplikation. Sprich Skalar oder Vektor müssen Null sein, wenn das Produkt der skalaren Multiplikation Null ist...
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 09:23:59    Titel:

versuch das zurückzuführen auf die nullteilerfreiheit der reellen zahlen (die du voraussetzen darfst, nehme ich an), indem du die vektoren komponentenweise betrachtest. ein vektor ist genau dann 0, wenn all seine komponenten 0 sind (zumindest im endlich dimensionalen).
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 13:26:56    Titel:

Zitat:
Sorry, das bezieht sich auf die skalare Multiplikation.


Jedem K-VR liegt ein Körper zugrunde. Der ist nullteilerfrei. D.h. unter den Skalaren gilt stets Nullteilerfreieheit. Was die Skalarmultiplikation mit Vektoren angeht, wie wäre es damit.

Beh.: Es gibt keine 0 <> l in lR und 0 <> v in V in einem lR-VR V mit l v = 0.
Beweis: Angenommen es gäbe l in lR und v in V mit l <> 0 und v <> 0 mit l v = 0. Für jeden anderen Vektor u in V gibt es genau ein u' mit

u = u' + v.

Dann folgt

u = u' + v = l / l (u' + v) = 1/l (lu' + lv) = 1/l l u' = u'.

Wegen der Eindeutigkeit von u = u' + v muss v = 0 sein. Widerspruch.

Die Eindeutigkeit ergibt sich ohne der obigen Eigenschaft:

Angenommen es gibt zu u = u' + v noch ein u'' mit u = u'' + v. Dann folgt daraus

u' + v = u'' + v

und somit u' - u'' = v - v = 0. Also u' = u''. Das ist im Wesentlichem die Gruppeneigenschaft von +. qed

Ich weiß, wer Beweis ist irgendwie nicht ganz ohne Smile Sieht jemand ein Problem?
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