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Komplex. und nun ?
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apple_scorpion
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 12:59:26    Titel: Komplex. und nun ?

hallo ! also ich komme nicht mehr weiter ! habe folgende frage : ich habe eine polynom, komplex, mit einem paramter, der zu iR gehoert, also unter der form bi. Jetzt muss ich diesen paramter so bestimmen, dass die 2 nullstellen von diesem polynom auch zu der Menge iR gehoeren ! aber welche bedingungen muss ich da setzen ?

hab so was : z^2 + a*z - 3 * a = 0, a € iR und die nullstellen auch ! wie muss ich mich da anlegen ?

danke sehr im voraus !
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 13:36:41    Titel:

Man sieht den Wald vor lauter Bäumen nicht Smile Dein Polynom hat ja reelle Koeffizienten. Und im reellen gibt es einen Satz, der sagt, wann ein Polynom vom Grad 2 reelle Lösungen hat: Nennt sich "Mitternachtsformel". Und genau in allen anderen Fällen sind die Nullstellen in Erweiterungskörpern zu suchen. Z.b. in den komplexen Zahlen.
apple_scorpion
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 14:58:29    Titel:

nein, mein polynom hat keine reelle koeffizienten ! und zwar : a gehoert zu i R, das heisst ist unter der form b*i, b € R !
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 15:19:06    Titel:

Ich check zwar net ganz was Du da willst,
aber wenn Du komplexe Nullstellen willst,
dann stell die Lösung der quadratischen Gleichung über die Mitternachtsformel auf
und berechne für das was unter der Wurzel steht einen negativen Wert...

Dann bekommst Du automatisch komplexe Nullstellen...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 16:04:22    Titel:

Zitat:
nein, mein polynom hat keine reelle koeffizienten ! und zwar : a gehoert zu i R, das heisst ist unter der form b*i, b € R !


Ok. Ich ging davon aus, dass Du mit iR einfach das lR (also das \mathbb{R}) meinst. Das Problem ist nicht wesentlich schwerer. Ich nehme mal a = i b an.

z^2 + i b z - 3 i b = 0 <=>
z^2 + i b z + (1/2 i b)^2 - (1/2 i b)^2 - 3 i b = 0 <=>
(z + 1/2 i b) ^2 = 3 i b.

An dieser Stelle darf man nicht Radizieren, da es im Komplexen keine eindeutige Wurzel gibt. Was man aber darf ist eine Ersetzung von z + 1/2 i b durch y = u + i v unter der Annahme z + 1/2 i b = u + i v machen.

(u + i v)^2 = 3 i b

liefert

u^2 - v^2 + i 2 u v - 3 i b = 0 <=>
(u^2 - v^2) + i (2 u v - 3 b) = 0.

Daraus folgt durch Koeffizientenvergleich

u^2 - v^2 = 0 und
2 u v - 3 b = 0.

bzw.

u = 3 b / (2v) und
(3 b / (2v))^2 - v^2 = 0.

Das liefert eine Menge von Lösungen, die jeweils paarweise gleiche Ergebnisse bringen im Reellen. An diesen kann man aber auch ablesen, für welche b solche Lösungen existieren und was dann raus kommt.

Kannst Du es selbst weiter machen mit diesem Hilfeschritt?
apple_scorpion
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 18:09:55    Titel:

hallo !

erstmals vielen dank fuer eure postings ! also ich habe das jetzt nicht ganz verstanden, hier noch einmal die frage :

Im KOMPLEXEN RAUM gibt man die gleichung :

z^2 + a*z - (3+4i)*a+8+3i = 0, a ist eine PURE IMAGINAERE zahl ! das bedeutet, dass a under der form b*i ist, mit b einer REELLEN ZAHL.

JEtzt muss ich a ausrechnen, so dass diese gleichung zwei nullstellen hat, di auch PURE IMAGINAERE zahlen sind, das heisst auch unter der form b*i, b eine REELLE zahl !

aber wie stelle ich das genau an ?

ich habe keine ahnung, aber vollstes vertrauen in euer wissen !

ps : oder glaubt ihr, mit dem horner shema kaeme man weiter ? weiss aber nicht genau wie, hab schon so viel herumprobiert ! mit der mitternachtsformel, ok, habe das auch schon getestet, aber weiss keine BEDIGNUNG, so dass di nullstellen unter der form b*i sind ! man muesste vielleicht dann den reellen teil gleich null setzen, aber wie ? habe keine geduld mehr, habe schon so vile getestet ...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 18:19:19    Titel:

Rechne doch einfach die Nullstellen aus so wie immer...

Mitternachtsformel und ab dafür...

Dann kriegste die Nullstellen mit irgendeiner Wurzel raus und die muss dann negativ sein... Also das was unter der Wurzel steht...
apple_scorpion
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 18:31:23    Titel:

hallo !

also ich habe jetzt das DELTA ausgerechnet, aber dann ? dann habe ich eine gleichung 2ten grades, di negativ sein sollte ?

oder wie ??

habe : a^2+12*+16*a*i-32-12i, ne ?

oder wei ??

*hilfe*
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 19:16:45    Titel:

Zitat:
Mitternachtsformel und ab dafür...


@wild_and_cool: Ich schätze deine Erfahrung, aber deine Empfehlungen stellen einen groben Ansatzfehler dar. Ich habe schon nicht einmal einen ganzen Stapel Aufgaben mit 0 Punkten bewertet, weil überall sqrt(1+i4) ausgewertet wurde. Das geht nicht, das darf man nicht und das ist syntaktisch falsch.

Hintergrund: Im Komplexen gibt es zwei unterschiedliche quadratische Wurzelfunktionen (allgemein n für n-te Wurzel). Die Schreibweise sqrt(1+i4) suggeriert hier Eindeutigkeit, die nicht gegeben wird, weil nicht klar ist, welche der Wurzelfunktionen hier gewählt wird.

@apple_scorpion: Können wir uns auf das Lösen einer Aufgabe konzentrieren. Poste bitte nochmal exakt, was genau gelöst weden muss.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 19:24:56    Titel:

Was die Mitternachtsformel anbetrifft, so zum Nachdenken, ein Beispiel:

f(x) = x^2 + i x - 1.

Dann ist D = b^2 - 4 a c = (i)^2 - 4 * (-1) = -i + 4 = 3 > 0.

Also würde Mitternachtsformel reelle Lösungen garantieren? Die sind aber nicht reell. Andererseits für

f(x) = x^2 + i x + 1

liefert die Mitternachtsformel D = (i)^2 - 4 < 0.

Heißt es, dass es keine reellen Lösungen gibt? Heißt es, dass es gar keine gibt?

D verliert im komplexen die Bedeutung "reell" vs. "komplex", was die Lösungen anbetrifft, weil es immer welche gibt.

Weiterhin kann man übrigens leicht mit "Wurzeln" aus komplexen Zahlen einen Widerspruch 1 = -1 konstruieren.
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