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Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)
 
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DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 12:55:51    Titel: Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)

Hi, hab folgende Frage:
wie beweis ich durch induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)?
Wichtig! Bitte heute noch.
Gracias DJBen djforge@hotmail.de
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 13:22:01    Titel:

Zitat:

wie beweis ich durch induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)?
Wichtig! Bitte heute noch.


Yes, sir!
Allerdings ist die Abschätzung derart schlecht, dass ich
befürchte, die Aufgabe wurde falsch abgeschrieben.
Also, wenn es für dich zumutbar ist, dann kontrolliere
doch nochmal die Aufgabe. Aber wirklich nur, wenn es nicht zuviel
Arbeit macht. Und wenn du schonmal dabei bist, könntest du
vielleicht auch sagen, warum das bei dir nicht klappt.

Jockel
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 13:38:26    Titel: Induktion

Hallo !

a^n>n² gilt für a=3 und n=1 und n=2.
Zeige: a^(n+1)>(n+1)² für a>=3, n>=2.

a^(n+1)>(a^n)(1+1/n)²>(n+1)²
Die linke Seite stimmt laut Voraussetzung.
Die rechte Seite stimmt, weil (1+1/n)² < 3 ab n>=2.

Ohne Induktion gehts eigentlich noch besser:
Da n^(1/n)<e^(1/e) mit e=Eulersche Zahl 2,718281...,
ist mit a>=3>e^(2/e)=2,087... die Ungleichung bewiesen.

O.k. ?!
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 13:51:38    Titel: Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)

Danke Winni,
antwort ist schlüssig und eigentlich ganz simpel. Very Happy
danke.
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 14:00:33    Titel:

Gibt doch noch ein kleines Prob:
Wie kommst Du bei der Ind auf das (1+1)/(n^2)?
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 14:05:36    Titel:

Sorry, meinte (a^n)(1+1/n)²
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 14:09:39    Titel:

Zitat:

a^(n+1)>(a^n)(1+1/n)²>(n+1)²
Die linke Seite stimmt laut Voraussetzung.

Bzw.
(a^n)(1+1/n)²


Zitat:

Danke Winni,
antwort ist schlüssig und eigentlich ganz simpel.


Genau deshalb schreib ich nicht einfach Lösungen.
Vielleich hab ich gerade ein Brett vorm Kopf, aber ich
sehe nichtmal ansatzweise eine Lösung.
@Winni: Aufgabe falsch gelesen?

Jockel
classic23
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 15:51:50    Titel:

Hat es jemand raus?

Ich bin bei:
a^n > (n²+2n+1)/a > n²

aber weis nicht, wie weiter...
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 16:14:11    Titel:

Also jetzt schreib ich doch mal was.
Irgendwie läuft ja hier einiges schief:

IA:
n=1: a^1>1^2, okay
n=2: a^2>2^2, okay, brauchen wir später

IV:a^n>n^2

IS:a^(n+1) = a*a^n > (nach IV).... >(n+1)^2

So, das sollte jetzt aber doch klappen!

Jockel
classic23
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 17:20:54    Titel:

Mache Induktionen zum allerersten mal.
So ganz blicke ich da noch nicht durch...

wie soll ich das zeigen:

a*a^n > (n+1)²
a^n > (n²+2n+1)/a

gut, wenn ich bei
a*a^n > (n+1)² mit a=3, n=2 setze
komme ich auf, 84 > 25

aber reicht das aus?
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