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Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)
 
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Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:31:35    Titel:

Oh, du setzt ganz falsch an:

Wir haben:
a^(n+1) = a*a^n jetzt setzen wir die IV ein, welche ja besagt,
dass a^n > n^2 ist, also:

a*a^n > a*n^2

Wir nehmen also an, das unsere Aussage bis n richtig ist und
zeigen jetzt, dass sie dan auch für n+1 gilt.
Es ist also zu zeigen:

a*n^2 > (n+1)^2

Okay?
Mach vielleicht erstmal eine einfache Induktion, z.B. sun(1,n) = n(n+1)/2.
Dann wird das Prinzip vielleicht deutlicher.

Jockel
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:50:43    Titel:

Hi Jockel, ich zitiere:
n=2: a^2>2^2, okay, brauchen wir später
wo brauchen wir das?
Und auch a*a^n > (nach IV).... >(n+1)^2
wenn ich mit IV rumprobiere:
a*a^n > n²*a >(n+1)^2
oder a*a^n> a^n>n^2 (=IV) >(n+1)²
ist das falsch, ich glaube, wir dummen scheitern an dieser lücke.
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:05:11    Titel:

Hi DJBen,

ich hab dich nie als 'dumm' bezeichnet, sondern ich finde es
schlecht, dass du nichtmal den Anfang aufgeschrieben hast.

Da das classic23 aber alles gemacht und es von alleine nicht
'Klick' macht, schreibe ich es dir auch gerne hin:

IS:

a^(n+1) = a*a^n
Für a^n haben wir eine Voraussetzung, welche wir jetzt einsetzen:
a*a^n > a*n^2
Es ist also z.z.: a*n^2 > (n+1)^2
Dazu schreiben wir (n+1)^2 mal aus, insgesamt:
a*n^2 > n^2 + 2n + 1

Jetzt klammern wir mal n^2 aus:
a*n^2 > n^2(1+2n/n^2+1/n^2)
Bleibt also z.z:
a > (1+2/n+1/n^2)
Da a lediglich > 3 ist, reicht unser n=1 nicht, da
1+2+1 = 4.

Nehmen wir also n=2:
1+4/4 + 1/4
Das ist schonmal < 3 und ofensichtlich ändert sich das mit grösserem n
erstrecht nicht. Damit ist alles bewiesen.

Jockel
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:30:07    Titel:

Sorry, habs immer noch nicht:
Jetzt klammern wir mal n^2 aus:
a*n^2 > n^2(1+2n/n^2+1/n^2)
Wie kannst du bei n²+2n+1, n² ausklammern?

Außerdem ergibt doch (1+2/n+1/n^2) für n=1; 1,5
Ich hatte schon die ganze Aufgabe hingeschrieben.[/u]
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:38:07    Titel:

Zitat:

Wie kannst du bei n²+2n+1, n² ausklammern?

Was spricht dagegen?
Zitat:

Außerdem ergibt doch (1+2/n+1/n^2) für n=1; 1,5


1 + 2/1 + 1/1^2 = 1 + 2 + 1 = 4
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:53:52    Titel:

Sorry, hab klammern gesetzt, wo keine sind.
allerdings muss es doch n^2(1+2n/n^2+1) heißen und nicht
n^2(1+2n/n^2+1/n^2)

Wiederspricht das dann aber nicht der Ursprungsungleichung wenn n=2 sein muss?
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:56:29    Titel: Induktion

Hallo zusammen !

Macht das Ganze bitte nicht so kompliziert ! Smile
Es ist (n+1)²=(n(1+1/n))²=n²(1+1/n)² .
Bitte n i c h t quadrieren, sonst wirds umständlich !!!

O.k. ?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:00:59    Titel:

Zitat:

allerdings muss es doch n^2(1+2n/n^2+1) heißen und nicht
n^2(1+2n/n^2+1/n^2)

Nein, multiplizier es wieder rein, dann siehst du das.
Zitat:

Wiederspricht das dann aber nicht der Ursprungsungleichung wenn n=2 sein muss?

Auch nein. Das ist völlig egal.
Entscheidend ist, dass die Richtigkeit für ein n gezeigt wurde.
Ab diesem n ist die Induktion dann gültig.
Alle vorherigen n's darfst du dann expliziet nochmal rechnen
(wenn das überhaupt geht; es gibt genug Induktionsbeweise, die
erst ab einem anderen n gültig sind).

Jockel
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:21:03    Titel:

Also danke schon mal für die Geduld, vor allem Jockel.

Ein letztes: eine Begründung für den Schritt von a*a^n>a*n²
zu a*n²>(n+1)² wäre super. Muss aber net sein, wenn ihr keinen Bock mehr habt, kann ich das mehr als verstehen.
Sonst noch schönen Abend
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:21:42    Titel: Induktion

An DJBen !

Ich hatte bei meiner ersten Antwort "links" und "rechts" vertauscht,
entschuldige !

Es muss heißen:
Die rechte Seite stimmt laut Voraussetzung.
Die linke Seite stimmt, weil (1+1/n)² < 3 ab n>=2.

Und bitte beachte: Mit (n+1)²=(n(1+1/n))²=n²(1+1/n)² löst sich das
Problem in Wohlgefallen auf.

Das wars noch, was ich ergänzen wollte. Smile
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