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Induktion a^n>n^2? (n e N, a e N a>=3)
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Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:31:43    Titel: Induktion

Hallo DJBen !

Du bist da in irgendein kompliziertes Fahrwasser gekommen.
Bitte nicht Quadrieren ! Es geht hier nur um Multiplikationen.

Was Dich vielleicht noch irritiert ist a > (1+1/n)² .
Das kommt einfach daher, weil a >= 3 > (1+1/n)² für n>=2 .
Das Maximum von (1+1/n)² ist ja dann bei n=2, also 1,5² = 2,25 < 3 .

O.k. ?
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:42:25    Titel:

Mag alles sein Winni, trotzdem versteh ich nicht wie du auf
...>(a^n)(1+1/n)²>.... ganz am anfang kommst.

Den Rest meine ich verstanden zu haben.
classic23
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Anmeldungsdatum: 15.10.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:50:44    Titel:

Jockelx hat folgendes geschrieben:
Zitat:
Wiederspricht das dann aber nicht der Ursprungsungleichung wenn n=2 sein muss?

Auch nein. Das ist völlig egal.
Entscheidend ist, dass die Richtigkeit für ein n gezeigt wurde.
Ab diesem n ist die Induktion dann gültig.
Alle vorherigen n's darfst du dann expliziet nochmal rechnen
(wenn das überhaupt geht; es gibt genug Induktionsbeweise, die
erst ab einem anderen n gültig sind).


Da will ich gerad net so recht mit.
Es heißt doch für alle n € |N...
Winni
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:01:40    Titel: Induktion

Hallo !

Ich hatte das nicht ausgeführt, weils ja letzlich jeder selbst versuchen muß und dies nur als Denkhilfe zu verstehen war.
Da war ich vielleicht etwas vorschnell, drumm hier meine vollständige Antwort:

Annahme: a^n > n² für a>=3, n>=1
Für n=1 stimmts und für n=2 auch.

Behauptung: a^(n+1) > (n+1)²

a^(n+1) = (a^n)a > (n²)a > (n²)(1+1/n)² = (n+1)²
da a >= 3 > (1+1/n)² für n>=2 .

Jetzt ist es o.k., oder ?
DJBen
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 15

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:10:47    Titel:

jups, denke schon, muchas gracias
Winni
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 04.08.2005
Beiträge: 3612

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:23:19    Titel: Induktion

De nada ! Very Happy
chrkad
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 12

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 21:50:40    Titel:

Ich würde mal sagen:
I-A n=1 a^1>=1^2 w.A. für alle a>=3
n=2 a^2>=2^2 w.A. für alle a>=3
I-V a^n>=n^2 = a*a^n>=a*n^2
I-S a^(n+1)=a*a^n (n+1)^2=n^2*(1+1 over n)^2
a*a^n>=n^2*(1+1 over n)^2
siehe I-V a=(1+1/ n)^2
(1+1 over n)^2>=3 gilt für alle n>=2
laut I-A gilt die Gleichung auch für n=1. darausfolgt: n>=1

Das muss es doch sein oder
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