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Induktionsbeweis
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bleistift
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:24:55    Titel: Induktionsbeweis

Hallo zusammen,

ich soll folgendes beweisen: n(n+1)(n-1) ist für alle n element N\{1} durch 6 ohne Rest teilbar.

also für 2, 3, 4 ... usw stimmt alles.

ich muss jetzt also zeigen dass gl.1 n(n+1)(n-1) das Gleiche ist wie
gl.2 (n+1)(n+2)n

ich komme absolut nicht drauf wie ich gl.1 in gl.2. umformen kann, hat jemend nen Tipp für mich

Gruss

bleistift

ps. wäre es ok wenn man gl.2 in gl.1 umformt, gibts irgendwelche allgemeinen Tipps?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:36:09    Titel:

Hi bleistift,

wenn du mal n=2 nimmst, dann siehst du dass gl1 sicherlich nicht
gleich gl2 ist.

Steht in der Aufgabenstellung, dass du Induktion nehmen sollst?

Jockel
bleistift
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:38:20    Titel:

oh je stimmt, ja ich soll induktion benutzen
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:41:10    Titel:

Okay, dann schreib doch schon mal IA, IV und IS hin.
bleistift
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:55:06    Titel:

n(n+1)(n-1) ist für alle n element N\{1} durch 6 ohne Rest teilbar

Induktionsanfang:
für n=2
2*3*2 = 12; 12/2 = 6 also ohne Rest

Induktionsvorraussetzung:
n(n+1)(n-1) ist für alle n element N\{1} durch 6 ohne Rest teilbar

Induktionsschlß:
da es ja für alle n Element N gelten muss, muss es auch für das Nächste Element, als (n+1) gelten
n(n+1)(n-1)+(n+1)

hast du das gemeint?
bleistift
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 18:56:17    Titel:

n(n+1)(n-1) ist für alle n element N\{1} durch 6 ohne Rest teilbar

Induktionsanfang:
für n=2
2*3*2 = 12; 12/2 = 6 also ohne Rest

Induktionsvorraussetzung:
n(n+1)(n-1) ist für alle n element N\{1} durch 6 ohne Rest teilbar

Induktionsschlß:
da es ja für alle n Element N gelten muss, muss es auch für das Nächste Element, als (n+1) gelten
n(n+1)(n-1)+(n+1)

hast du das gemeint?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:33:06    Titel:

Hi bleistift,

ich weiss nicht, wie ich da Tipps geben soll. Das ist ein bisschen Tricky.
Daher ausnahmsweise Komplettlösung, also wenn du selber
drauf kommen willst wegschauen!

IS:
6 | n(n+1)(n+2)
Jetzt das hintere ausmultiplizieren:
n^3+3n^2+2n = 3n^2 + 3n + (n^3 - n)

(n^3 - n) ist = n(n+1)(n-1) und somit nach IV durch 6 teilbar.
Bleibt also z.z.:
3n^2 + 3n ist durch 6 teilbar.
Das ist aber trivial, da diese Zahl offensichtlich durch 3 teilbar ist
und ebenfalls gerade. Insgesamt also durch 6 teilbar.
Damit's schöner wird, den letzten Punkt noch mit Primfaktorzerlegung
verdeutlichen.

Jockel

Edit: schreibfehler weggemacht
bleistift
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 32

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:47:31    Titel:

ok vielen Dank, ich hab mir die Lösung noch nicht angeschaut und hoffe dass ich noch auf die Lösung komme. Aber gut zu wissen dass sie da ist.

Gruss

Bleistift
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