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beweistechniken
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juntao21
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:00:44    Titel: beweistechniken

guten abend alle zusammen,

wir haben heute bei uns an der ba mit beweistechniken begonnen.
unser dozent knallt das thema voll durch und wir haben nicht so die idee!
wir sollen folgende annahme beweisen:

Zeige: n^5 - n ist durch 5 teilbar für alle n element der natürlichen nahlen

kann uns hier jemand helfen?

schönen abend noch...
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:20:42    Titel:

Induktion?!
juntao21
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Anmeldungsdatum: 31.10.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:34:41    Titel: Induktion

Ja, aber wie sollen wir da vorgehen? Uns wurde das nicht richtig erklärt?!
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 19:38:02    Titel:

such mal in den alten threads. Da wird das ziemlich haeufig erklaert.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2005 - 20:05:10    Titel:

Mal zum Nachdenken: Man braucht hier keine Induktion Smile Für den allgemeinen Fall ist Induktion natürlich eleganter.

f(n) = n^5 - n = n(n^4-1) = n(n^2-1)(n^2+1) = n(n-1)(n+1)(n^2+1).

Sei n beliebig. Betrachte Fälle:

(i) Falls 5 | n, so gilt 5 | f(n) wegen dem ersten Faktor
(ii) Falls 5 | n - 1, so gilt 5 | f(n) wegen dem zweiten Faktor
(iii) Falls 5 | n - 2, so gilt n = k*5 + 2. D.h. n^2+1 = (k*5+2)^2 + 1 = 25 k^2 + 20 k + 5. Also 5 | f(n) wegen dem Faktor vier.
(iv) Falls 5 | n - 3, so gilt n = k*5 + 3. D.h. n^2+1 = (k*5+3)^2 + 1 = 25 k^2 + 30 k + 10. Also 5 | f(n) wegen dem Faktor vier.
(v) Falls 5 | n - 4, so gilt 5 | 5 + n - 4 = n + 1, 5 | f(n) wegen dem Faktor drei.

Da man insgesamt alle Fälle betrachtet hat gilt 5 | f(n) für jedes n.
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