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Knobelaufgabe
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 14:18:16    Titel: Knobelaufgabe

Giebt es positive ganze Zahlen mit

x²+y²=7^(7^7) ?
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 14:31:25    Titel:

Nein.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 14:48:14    Titel:

Woher weisst du das?
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 14:54:00    Titel:

Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung; 7^(7^7) wird dargestellt als das Produkt von (7^7) 7en;
gefordert ist eine Darstellung dieses Produkts in der Form 7^n + 7^m = 7^x mit n, m positiv und ganzzahlig, x = 7^7.
Man klammert aus:
7^(n-m)*(7^m) = 7^x
und teilt durch 7^m:
7^(n-m) = 7^(x-m)
Damit folgt x = n und somit m = 0; also gibt es keine positiven ganzen Zahlen x und y mit x^2 + y^2 = 7^(7^7).
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 15:08:03    Titel:

gefordert wird eine Darstellung der Form x²+y²=7^k.
rightaway
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Anmeldungsdatum: 19.10.2005
Beiträge: 1265

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 15:12:24    Titel:

Ja, aber es muss ja bereits x^2 = 7^n und y^2 = 7^m gelten.
yushoor
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Anmeldungsdatum: 05.07.2005
Beiträge: 517

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 15:19:46    Titel:

7^(7^7) ist ungerade.
offenbar muss also genau eine der beiden zahlen x,y ungerade sein, die andere gerade, weil sonst die linke seite gerade ist.

man kann also obda schreiben x=2n und y=2m-1.
also steht links x²+y²=4n²+4m²-4m+1. das ist kongruent 1 mod 4.

7^0=1 ist kongruent 1 mod 4
7^1=7 ist kongruent 3 mod 4
7^2 ist wieder kongruent 1 mod 4 usw, immer abwechselnd 1 und 3. bei gerade exponenten ist die 7er potenz kongruent zu 1 mod 4.
7^(7^7) hat aber eine ungerade potenz, also kongruent 3 mod 4.
also gibt es keine lösungen für x und y Smile
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 02 Nov 2005 - 15:26:38    Titel:

Das ist eine richtig schöne Lösung yushoor.
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