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Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung
 
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S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 15:46:30    Titel: Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung

Hi!
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Seien V und W zwei K-Vektorräume, V' ein Untervektorraum von V und
f : V -> W eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie: f(V') ist ein Untervektorraum von W.

Also ich versteh zwar die Aufgabe, aber ich hab keine Ahnung, wie ich das angehen soll. Ich soll die drei Untervektorraumaxiome beweisen... Aber wie fange ich da an? Kann mir einer helfen?
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 16:29:21    Titel:

Hi,

zunächst sind die 'drei Untervektorraumaxiome' keine Axiome,
sondern Kriterien. Das ist jetzt keine Haarspalterei, sondern ein
netter Rat, dir diese Begriffe nicht falsch einzuprägen.

Dann schreib die doch mal hin und insbesondere verdeutliche dir
nochmal was es für eine Funktion heisst, linear zu sein.

Jockel
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 16:44:27    Titel:

Schon mal danke für diese Aufklärung. Das wusst ich gar nicht. Ich dachte echt, das heißt so.
Also die 3 Kriterien:
Sei V ein K-VR, UcV.
U ist UVR von Vw
(UV1): U ungleich{}
(UV2): u, v E U => u+v E U (Abgeschlossenheit bezl. Addition)
(UV3): u E U, a E K => a*u E U (Abgeschlossenheit bezl. Mutiplikation mit Skalaren)

Eine Abbildung f:V->W heißt lineare Abbilding genau dann, wenn gilt:

(L1): f(u+v)=f(u)+f(v) (für alle u,v, E V)
(L2): f(a*v)=a*f(v) (für alle u,v, E V, für alle a E K))
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 17:42:56    Titel:

Eigentlich meinte ich mit aufschreiben auch, dabei zu überlegen.
Na egal.
Welches Element ist denn in jedem (Unter-)Vektorraum vorhanden?
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 18:00:57    Titel: Re: Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung

S.A.V.M.R. hat folgendes geschrieben:
Hi!
Habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Seien V und W zwei K-Vektorräume, V' ein Untervektorraum von V und
f : V -> W eine lineare Abbildung.
Zeigen Sie: f(V') ist ein Untervektorraum von W.

Also ich versteh zwar die Aufgabe, aber ich hab keine Ahnung, wie ich das angehen soll. Ich soll die drei Untervektorraumaxiome beweisen... Aber wie fange ich da an? Kann mir einer helfen?



(UV1): U ungleich{}
(UV2): u, v E U => u+v E U (Abgeschlossenheit bezl. Addition)
(UV3): u E U, a E K => a*u E U (Abgeschlossenheit bezl. Mutiplikation mit Skalaren)

Eine Abbildung f:V->W heißt lineare Abbilding genau dann, wenn gilt:

(L1): f(u+v)=f(u)+f(v) (für alle u,v, E V)
(L2): f(a*v)=a*f(v) (für alle u,v, E V, für alle a E K))


Also verwende im beweis von UV2 einfach L1 und in UV3 einfach L2 und du bist fertig

Der beweis sollte ja gehen, wie du es am anfang von LA 1 gelernt hast
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 19:05:07    Titel:

Zitat:
zunächst sind die 'drei Untervektorraumaxiome' keine Axiome,
sondern Kriterien. Das ist jetzt keine Haarspalterei, sondern ein
netter Rat, dir diese Begriffe nicht falsch einzuprägen.


Natürlich sind die definierenden Formeln für einen Vektorraum Axiome. Sie axiomatisieren die Strukturklasse aller Vektorräume. Der Rat war ein wenig daneben. Was aber nicht schön war, dass der Kollege die Axiome beweisen wollte. Das macht natürlich keinen Sinn, denn im Axiomensystem der Vektorräume kann man natürlich die Axiome trivial beweisen. Es heißt: "Gültigkeit nachweisen"
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 20:27:10    Titel:

Ok, also erstmal danke an euch, dass ihr mir geantwortet habt... Leider hatte ich gerade keine Zeit, also werd ich erst jetzt die Aufgabe weiter versucehn können. Dann mach ich das mal so, wie ihr mir gesagt habt.
@brabe: Hab gar nicht LA(wolte das nur mal so erwähnt haben Wink , aber das ist auch eigentlich egal, denn das was ich hab läuft quasi aufs gleiche raus ... Wink
Ok, also ich werd die Aufgabe jetzt machen. Wenn ich zu einer Lösung gekommen bin (hoffe, dass es klappt;) ), kann ich die dann hier rein stellen, dass sich das einer von euch nochmal anguckt? Das wär nett.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 20:51:27    Titel:

Ich muss sagen, ich bin mir alles andere als sicher, ob ich das hier gerade richtig mach. Ich kann euch ja mal meinen Anfang aufschreiben, in der Hoffnung, dass mich jemand korrigiert, wenn ich total falsch liege:
also:
UV1: U ungleich {} (hier hab ich einfach nur einen Haken hintergemacht, und gesagt, dass das stimmt, weil das ja eigentlich so sein muss, sonst bräuchte ich den Beweis ja nicht führen. Aber gibt es nicht noch eine Methode, sodass ich das wirklich zeigen kann?!?!

so, jetzt hab ich versucht UV2und L1 zusammenzupacken, weiß aber nciht, ob mir das gelungen ist. Ich wusste auch - muss ich zugeben - noch nciht mal son wirklichen Anfang: also, ist das richtig:
((fast) alles was im folgenden in Klammern steht, sind Vektoren Wink )
UV2: sei u=(u1, u2,...,un) und v=(v1, v2,..., vn)
Dann gilt:
f(u+v)=(u1+v1, u2+v2,...,un+vn)=((u1, u2, ..., un)+(v1, v2,...vn))=f(u)+f(v) -> UV2 gilt! (nimmt wieder gleiche gestalt an (->E
V')
->L1 gilt! (f(u+v)=f(u)+f(v))

Also ich hab jetzt quasi versucht, beide axiome (oder was auch immer Wink ) glecihzeitig zu beweisen. Also deren Gültigkeit. Aber ich weiß nicht, ob ich das richtig gemacht habe, vor allem, mit den Vektoren so wie ich sie aufgeschrieben hab (ich hab ja einfach immer (u1 ... bis.... un ) genommen. stimmt das so? wenn ja mach ich das jetzt auch für UV3 und L2!!!?!?!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:17:18    Titel:

Ich kann das nicht oft genug sagen: Das Ziel der Übungen ist es eine saubere Beweistechnik zu üben. Glaubst Du wirklich, dass Du durch obiges irgendwas bewiesen hast? Ich nicht. Abgesehen davon, dass Du die falsche Eigenschaft bewiesen hast Smile

Abgeschlossenheit bzgl. der Summe mach man so:

Beh.: Bild(f) ist bezüglich Addition abgeschlossen.
Beweis: sei u,v in Bild(f). Dann gibt es u' und v' in V mit u = f(u') und v = f(v'). Dann ist u' + v' in V und somit f(u' + v') = f(u') + f(v') = u + v in Bild(f). qed
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:19:08    Titel:

Und noch was: Im Allgemeinen kannst Du nicht von einem Vektor ausgehen, welches sich in Komponenten zerlegen läßt! D.h. sowas, wie "für ein K-Vektorraum V sei v = (v_1,...,v_n)" ist ein grober Fehler.
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