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Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Vektorraum, Untervektorraum und lineare Abbildung
 
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S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:20:03    Titel:

Hm... und damit hab ich das dann bewiesen?! Das sieht ja noch kürzer aus als meins ^^?!
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:21:10    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Und noch was: Im Allgemeinen kannst Du nicht von einem Vektor ausgehen, welches sich in Komponenten zerlegen läßt! D.h. sowas, wie "für ein K-Vektorraum V sei v = (v_1,...,v_n)" ist ein grober Fehler.


Gut, das zu wissen.. DANKE!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:22:13    Titel:

Die Teilbeweise sind Einzeiler. Da ist nichts zu zeigen. Es gibt sogar ein noch viel allgemeineres Ergebnis ist universeller Algebra: Bilder von Strukturen unter Homomorphismen sind Substrukturen der Bildstrukturen.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:24:19    Titel:

Äh, ja, is klar... Wink
Ja, gut, dann sage ich mal Danke für deine Hilfe...
Aber dennoch habe ich immernoch ein Problem mit UV1.. Also wie kann ich jetzt zeigen, dass das ungleich der leeren Mehge ist?! Wenn ich irgendeinen Vektor oder so hätte, könnte ich ja ein Beispiel geben, so nach dem motto (0,0,0) liegt drin oder so. ABer wie kann ich das hier für machen?
Goblin
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Anmeldungsdatum: 02.06.2005
Beiträge: 193
Wohnort: Leipzig/Lößnig

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:24:59    Titel:

Den Beweis hab ich auch net ganz verstanden @ ALgebrafreak
Hast du damit das ganze nicht einfach auf die Addition reeller Zahlen abstrahiert?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:27:50    Titel:

Zitat:
Gut, das zu wissen.. DANKE!


K-Vektorräume sind Strukturen, also Mengen mit Operationen drauf, die mit der Skalarmultiplikation vom Körper verträglich sind. Von einer genauen Gestalt ist nichts gesagt. Die typische Frage ist, wenn man sich in einer Prüfung verlabert hat: Was sind denn Komponenten v_1,...,v_n bei einer Polynomfunktion. Polynomfunktionen vom Grad kleiner k sind ja auch lK-Vektorräume. Und da gibt es keine "Komponenten", denn eine Funktion ist ja eine Menge von Paaren von Zahlen Smile Was aber dann zwingend gesagt werden muss ist, dass man jeden endlichdimensionalen K-Vektorraum auf K^n isomorph abbilden kann. Und dort kann man Komponenten bilden. Aber diese Ausrede gilt nicht, wenn es um obige Bemerkung geht. Denn es gibt i.A. keinen kanonischen Isomorphismus von einem K-Vektorraum auf K^n, auch wenn man das glauben mag.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:35:14    Titel:

Zitat:
Hast du damit das ganze nicht einfach auf die Addition reeller Zahlen abstrahiert?


Wo hast Du da eine reelle Zahl gesehen? Wir sind in einem K-Vektorraum.

Ich muss zeigen, dass für u,v in Bild(f) u + v auch in Bild(f) ist.

Zitat:
sei u,v in Bild(f).


Dann nehme ich mir ein u und ein v in Bild(f).

Zitat:
Dann gibt es u' und v' in V mit u = f(u') und v = f(v').


Und die haben natürlich (nicht eindeutige) Urbilder in V. Die nehme ich. Jetzt bin ich mit u' und v' in V und nicht mehr in W.

Zitat:
Dann ist u' + v' in V


Weil V ein Vektorraum ist, ist u' + v' in V. Das ist hier der zentrale Schritt. Ich führe die Addition in Bild(f) auf die in V zurück.

Zitat:
und somit f(u' + v') = f(u') + f(v') = u + v in Bild(f)


Jetzt ist u' + v' in V. Dann kann ich daraug f anwenden. Da f linear ist, gilt ja f(u' + v') = f(u') + f(v'). Da aber gerade f(u') = u und f(v') = v ist der Wert f(u' + v') gerade das selbe, wie die Summe von u + v in W und somit auch aber in Bild(f).

Zitat:
Aber dennoch habe ich immernoch ein Problem mit UV1.


V ist nicht leer. Also gibt es da ein v_0 drinnen. Dann ist f(v_0) in Bild(f). Also ist Bild(f) auch nicht leer.
S.A.V.M.R.
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 21:44:31    Titel:

Vielen Dank, du hast mir sehr geholfen.. Und ich habe sogar das Gefühl, dass ich das jetzt verstanden hab... Besten Dank!!!!
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