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Limes von Folgen - Definitionsfrage
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Limes von Folgen - Definitionsfrage
 
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meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:03:15    Titel:

Ups... ich hab nen entscheidenen Fehler in meiner Frage eingebaut.
Ich hab nämlich behauptet, die Folge a(n) hätte einen bestimmten Wert. Das ist natürlich falsch.
Aber somit stellt sich mir schon wieder eine neue Frage.

In der Def steht ja: |a(n) - a|

a hat aber einen bestimmten Wert (also a ist eine Zahl).
Wie ziehe ich einen Wert von einer Folge ab?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:09:23    Titel:

Alles klar. Was ist denn deiner Meinung nach "eine Folge"?

P.S: Übrigens per ICQ geht es schneller und individueller Smile
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:13:52    Titel:

Eine Folge ist eine Auflistung von (in diesem Fall) unendlich vielen Zahlen.
...ja ...hmm ...und da weiß ich eben nicht weiter.

ICQ hab ich nicht
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:33:01    Titel:

Ach, warte... das heißt dann, Epsilon ist größer als das letzte Folgenglied.

Ja, das müsste stimmen.

Vielen lieben Dank
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 04 Nov 2005 - 23:59:55    Titel:

Zitat:
Ach, warte... das heißt dann, Epsilon ist größer als das letzte Folgenglied.


Ne. Epsilon will man so klein haben, wie möglich!

Eine Folge ist übrigens eine Abbildung von lN in eine Zielmenge z.B. lR, oder so. Daher auch die Schreibweise a(n)
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 00:07:31    Titel:

verflucht nochmal... Mad
Epsilon ist aber ein ganz normaler Zahlenwert, wie z.B. 1
Aber wie soll ich folgenden Ausdruck jetzt verstehen?
|a(n) - a| < Epsilon
a ist doch auch ein normaler Zahlenwert. Wie ziehe ich diesen von einer Folge ab??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 00:09:37    Titel:

Es heißt: Der Abstand der Folgenglieder vom Grenzwert ist ab einem n schließlich kleiner als jede beliebige positive reelle Konstante.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 00:21:37    Titel:

Ah ja.
Dann stellt dieser Ausdruck
|a(n) - a|
den Abstand der Folgenglieder vom Grenzwert dar.
Ich kanns nur nicht gedanklich umsetzen.

Und noch ne Frage dazu:
sei a(n) = 1/2

für N = 2 wäre Epsilon 1/2 und |a(n) - a| < Epsilon

für N = 4 wäre Epsilon 1/4 und |a(n) - a| < Epsilon

und das würde für jedes beliebige N gelten.
-richtig?
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 08:33:51    Titel:

Ja,schon, aber da Deine Folge konstant ist, kannst Du für JEDES Epsilon N=1 wählen.

Das entscheidende ist, dass Du zuerst ein BELIEBIG kleines Epsilon nehmen kannst, und dann ein N (das von epsilon abhängt) findest, so dass ab diesem N der Abstand aller weiteren Folgenglieder kleiner als dieses Epsilon ist.
Mal doch mal ein Bild:

Koordinatensystem im zweidimensionalen.
x-Achse: Natürliche Zahlen.
y-Achse: Folgenwerte.

Und jetzt nimm mal die Folge a(n)=n, mal diese rot ein,
und die Folge a(n)=1, mal diese grün rein,
und die Folge a(n)=1/n, mal diese blau ein.

Und jetzt überlegen wir mal.

Die erst Folge divergiert. Das zeigen wir jetzt in dem Bild.
Jetzt nehmen wir mal an, die erste Folge konvergiert gegen eine Zahl a1.
Dann würde es ein a1 geben, das die Definition der Konvergenz erfüllt.
Malen wir mal in Form einer wagerechten roten linie irgendwo (und wo ist beliebig, da wir ja zeigen wollen dass es KEIN solches a1 gibt) in die Grafik ein. Sagen wir bei zwei.
Nun malst Du eine BELIEBIGE Epsilonumebung dazu ein. Sagen wir epsilon=1/2. Alsozwei rote wagerechte Linien bei 1.5 und 2.5. und schraffierst mal den Bereich dazwischen.
Und nun die Frage:
Findest Du irgendeinen Index N, ab dem alle rpten Punkte in dieser Umgbung liegen? Offensichtlich nicht. Denn ab n=3 liegen wir ausserhalb.
Und es ist egal, WO Du dein a1 angenommen haettest. Fuer epsilon=1/2 waerest Du IMMER irgendwann mit allen Punkten ausserhalb des entsprechenden schraffierten Bereichs.

Soweit konntest Du mir hoffentlich noch folgen?

So un nun zum nächsten. (Am besten neues Blatt Papier!)

Wir malen mal die Folge a(n)=1 ein. Behauptung: limes a(n)=1.
Also a=1.

Nun malst Du mal eine BELIEBIGE epsilon Umgebung um a=1, wieder in Form von zwei wagerechten Strichen ein. Sagen wir wieder espilon=1/2.
Dann hast Du die Striche bei 0.5 und 1.5,schraffierst den Bereich dazwischen.
Offensichtlich liege ALLE Folgenglieder in diesem Bereich.
Das gilt für jedes belibig kleine epsilon.
Also koennen wir entpsrechend der Definition sagen:

Für beliebiges Epsilon>0 gilt mit N=1: |a(n)-1|<Epsilon fuer jedes n>=N.


So weit alles klar?

Dann weiter zum dritten:

Behauptung lim a(n)=0.
Also a=0.

Wieder epsilon gleich 1/2. Wie oben hinmalen.
Es gilt ab N=3: |a(n)-0|<1/2.
Nun nehmen wir ein anderes epsilon, sagen wir epsilon=1/4 her. Einmalen!. Wie Du siehst, gilt ab N= 5 |a(n)-0|<1/4.

Ist das jetzt klarer geworden?
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 11:34:52    Titel:

Ah ja... sehr schön, danke.

Hatte das Epsilon seither ganz falsch aufgefasst.
Aber jetzt hab ich glaub alles verstanden.

Um sicher zu gehen noch eine Frage:

|a(n) - a|
um das zu berechnen muß ich von jedem Folgenglied a abziehen, richtig?


Beispiel:

a(n) = (1/n)+1

hier gilt:
lim a(n) = 1
also a = 1

Jetzt nehm ich mal Epsilon = 1/4
dann gilt ab N = 5
|a(n) - 1| < 1/4

Also nehm ich grade mal das Glied n=5 rechne aus |(1/5)+1 - 1| < 1/4
Und das könnte ich mit jedem Glied machen (ab N) und es würde immer
|a(n) - a| < Epsilon gelten.

Stimmt doch so oder?
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