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Limes von Folgen - Definitionsfrage
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 12:46:57    Titel:

Ja. Das ist die Bedingung bei Konvergenz. Der Abstand (|a(n)-a|) der Folgenglieder zum Grenzwert überschreitet nie den Wert von epsilon ab einem gewissen N.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 13:47:30    Titel:

Alles klar, danke.

...Nullfolge
gleiche Definition, nur dass deismal gilt: |a(n)| < Epsilon

Aufgabe: Beweisen Sie, dass a(n) = 1/n eine Nullfolge ist.

Lösung:
sei Epsilon > 0
Nach Achimedes gibt es N (Element von |N) so dass N > 1/Epsilon.
Sei n>=N, (n Element von |N) dann gilt
n > 1/Epsilon > 0 => Epsilon > 1/n > 0
also Epsilon > |1/n| = 1/n

Frage:
wieso gilt N > 1/Epsilon (2. Zeile in Lsg.)?
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 22:32:02    Titel:

...ich komme nicht drauf.

Hab hier auch noch einen Beweis für die Folge a(n) = 1/Wurzel(n)
Da wurde einfach mit N > 1/(Epsilon²) argumentiert.
Epsilon wurde hier wahrscheinlich nur im Quadrat genommen, um nacher das N bzw. n unter die Wurzel zu bekommen, damit der Beweis auch passt.
Man ging wahrscheinlich wieder von der Tatsache aus, daß N > 1/Epsilon gilt.
Aber warum??

Sollte nicht sowieso für die Nullfolge a(n) = 1/n folgendes gelten:
N = 1/Epsilon ?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 23:19:00    Titel:

Du denkst zu lange über dieses Zeug nach Smile Die Idee bei solchen Beweisen ist es sich von der Bedingung ausgehend das N zu bekommen. Das kommt aber im Beweis nicht so rüber. Denn man setzt das N bevor man überhaupt die Bedingung (|a_n - a | < epsilon) sieht.

Was man aber tatsächlich macht ist sich die Bedingung aufzuschreiben und zu überlegen für welche N sie erfüllt sein kann. Beispiel a_n = 1/sqrt(n). Bedingung ist

|1/sqrt(n) - 0| = |1/sqrt(n)| = 1/sqrt(n) < espilon

Damit das gilt formt man das äquivalent um zu

sqrt(n) > 1/epsilon

und somit zu

n > 1/epsilon^2.

Das macht man auf einem Blatt Papier heimlich. Tut aber dabei, so, als ob man Hellseher ist. D.h. man sagt

sei epsilon > 0
sei N = 1/epsilon^2
dann gilt für M > N
|1/sqrt(M) - 0| = 1/sqrt(M) < 1/sqrt(N) = e.

So funzt das.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 23:45:22    Titel:

Ach so.
Zumindest darauf hätte ich selber kommen sollen Embarassed

Danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 23:47:32    Titel:

Das ist überhaupt nicht trivial. Ich bin erst später auf "effektive" Beweistechniken für solche Sachen gekommen, als ich selbst Übungsblätter korrigiert habe.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 15:03:52    Titel:

ach man, das ist ja echt deprimierend.

Ich hab jetzt folgende Aufgabe zu lösen:
Zitat:
Sei lim(n->unendl.) a_n = a. Zeigen Sie mittels Induktion, dass für alle m "Element von" |N gilt:
lim(n->unendl.) (a_n)^m = a^m


An einen Beweis, dass eine Folge a_n gegen a konvertiert, geht man ja so ran, dass man beweist, dass (a_n - a) eine Nullfolge ist.

Jetzt ist mir diese Aufgabe aber leider zu allgemein.

Als Induktionsanfang nehme ich doch m = 1. Somit habe ich die Bedingung als IA. Ist dieser damit fertig, oder sollte ich dazu ein paar Eigenschaften aufschreiben, damit ich auf den Induktionsschluß folgern kann?

Induktionsvorraussetzung ist ja lim (a_n)^m = a^m

Für den Induktionsschluss muß ich dann für m = m+1 einsetzen.
sei Epsilon > 0 => |(a_n)^(m+1) - a^(m+1)| < Epsilon
und weiter?


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wie tippt man eigentlich das "Element von"-Zeichen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 15:45:46    Titel:

Tipp: Du brauchst hier überhaupt keine epsilons usw. Das geht rein mit Additions/Multiplikationssätzen für Grenzwerte.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 16:32:08    Titel:

wäre es dann so richtig?

IA:
lim(n->unendl) a_n = a

IV:
lim(n->unendl) (a_n)^m = a^m

IS:
lim(n->unendl) (a_n)^(m+1) = a^(m+1)
=>
( lim(n->unendl) a_n )*( lim(n->unendl) (a_n)^m ) = a*a^m


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wie tippt man eigentlich das "Element von"-Zeichen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 16:51:15    Titel:

Zitat:
lim(n->unendl) (a_n)^(m+1) = a^(m+1)
=>
( lim(n->unendl) a_n )*( lim(n->unendl) (a_n)^m ) = a*a^m


Die Idee hast Du richtig verstanden. Formal ist es nicht gut.

Betrachte (a_n)^(m+1). Da a_n konvergiert und nach Induktionsvorausstzung (a_n)^m konvergiert, so konvergiert auch (a_n)^(m+1) und man kann nach dem Multiplikationssatz die Grenzwertbildung trennen in

lim (a_n)^(m+1) = lim a_n * lim (a_n)^m

Nach Induktionsvoraussetzzung gilt lim (a_n)^m = a^m und es gilt nach Vor. lim a_n = a. Also insgesamt gilt

lim (a_n)^(m+1) = a * a^m = a^(m+1).

Und bitte: Bevor Du fragst, was bei deiner Lösung anders war Smile untersuche es selbst. Es ist ganz wichtig dass Du selber drauf kommst. Am besten lies nochmal den Abschnitt über Induktionsprinzipien in deinem Buch.
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