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Funktion abschätzen, kontrahierend?
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TimWischmeier
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 03:27:01    Titel: Funktion abschätzen, kontrahierend?

Hallo zusammen,

die Aufgabe sieht kniffliger aus, als sie ist. Ich hab vorher mal alle Formalien dazugeschrieben. Die eigentlich Frage steht ab [***] da.

ich soll für eine Aufgabe den Grenzwert einer Folge ausrechnen. Die Aufgabenstellung schreit geradezu nach dem Banach'schen Fixpunktsatz. Die Folge x(n+1) = f(x(n)) soll betrachtet werden.

Es gilt f: [0, 2] -> R.

Laut FPS: ist

1) f: X -> X und x ein vollständiger, kompakter Raum (wie zeigt man übrigens, dass [0, 2] vollständig ist?) und

2) f kontrahierend mit d(f(x), f(y)) <= c * d(x, y) mit c € [0, 1[ und x, y aus [0, 2] beliebig sowie d(.,.) eine gültige Norm,

so gilt:

1) es gibt einen eindeutig bestimmten Fixpunkt mit f(x) = x
2) die Folge x(n+1) = x(n) konvergiert gegen dieses Fixpunkt


Also, die Funktion ist wie folgt gegeben:

f(x) = 1/2 * wurzel ( 4 + x³)

ich muss also zeigen, dass

[***]

|f(x) - f(y)| <= c * |x-y| für ein 0 <= c < 1

Mir fehlt leider die Idee fürs Abschätzen

|f(x) - f(y)| = |1/2*wurzel(4+x³) - 1/2*wurzel(4+y³)| =
1/2 * |wurzel(4+x³) - wurzel(4+y³)|

kann ich hier davon ausgehen, dass das kleinergleich
<= 1/2 * |(4+x³) - (4+y³)|

ist? Sieht irgendwie falsch aus, sieht auch irgendwie zu einfach aus Smile. Ist das eine gültige Abschätzung?

Bitte gebt mir etwas Rückmeldung dazu, ich bin für alles dankbar!

MfG, Tim
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 16:31:38    Titel:

Man zeigt Kontraktivität meist nicht direkt durch Abschätzen, sondern in Fällen, wie dieser, durch die erste Ableitung. Das Supremum der Ableitung ist nämlich eine geeignete Kontraktionskonstante.
TimWischmeier
Junior Member
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Anmeldungsdatum: 07.11.2004
Beiträge: 70

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:12:22    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Man zeigt Kontraktivität meist nicht direkt durch Abschätzen, sondern in Fällen, wie dieser, durch die erste Ableitung. Das Supremum der Ableitung ist nämlich eine geeignete Kontraktionskonstante.


Verdammt, mein altes Problem in Mathe: ich schreib mir nen Wolf und dann kommt einer daher, der Ahnung hat, und macht in zwei Zeilen die Lösung Very Happy!

Nein, mal im Ernst. Die Ableitung wäre ja

f'(x) = 3x² / 4*wurzel(x³ + 4)

Würde also bedeuten, ich nehme mir f' vor. Wenn ich dann zeigen kann, dass 0 <= f'(x) < 1 für alle x€R ist, hab ich Kontraktivität gezeigt? Oder untersuche ich wiederum 0 <= |f'(x)| < 1 (was in diesem Fall ja eh egal ist, da f'(x) >= 0)?

Und noch eine Frage hätte ich da: warum funktioniert das? Weil Kontraktivität im Prinzip Differentation erweiter um die Kontraktionskonstante ist? Sehe ich das richtig?

Und vor allem: danke für deine Antwort Smile!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 19:04:11    Titel:

Du untersuchst deine Funktion im Intervall [0,2]. Dafür musst Du auch das Supremum berechnen.

Zitat:
warum funktioniert das?


Das ist im wesentlichen eine Anwendung des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung. Seien a und b im Innereren deines Intervalls vorgegeben. Dann gilt ja für mindestens ein x_0 in ]a,b[ unter üblichen Annahmen

f'(x_0) = (f(b) - f(a))/(b - a).

Also

|f(b) - f(a)| = f'(x_0) |b-a|.

Für L = sup |f'(x)| mit x in deinem Intervall gilt ja dann f'(x_0) <= L. Also insgesamt

|f(b) - f(a)| = f'(x_0) |b-a| <= L |b - a|.
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