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Induktion
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miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 12:32:43    Titel: Induktion

Es geht um die Aufgabe H10 auf der folgenden Seite

http://www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/an1_b02.pdf

(ich hätte die aufgabe lieber separat hier rein gestellt aber man kann keine bilder vom computer hochladen...)

Ich würde gerne wissen, wie man bei dieser Aufgabe vorgeht (ich möchte keine fertige Lösung haben, sondern nur ne Erklärung, n paar Hinweise!!)

Also, ich hab mit dem Ind.anfang n=1 begonnen und für i und n die Zahlen eingesetzt. Als Ergebnis des Ind.anfangs hab ich jetzt:
(Summenzeichen) i=1 bis 1 1= 1/4*6=3/2

War diese Vorgehensweise richtig?? Wenn ja, was stelle ich jetzt mit diesem Ergebnis an? Und wenn nicht, wie hätte ich vorgehen müssen? Bei der Aufgabe H9 hab ich das mit der Induktion gut rechnen können aber bei Aufgaben mit dem Summenzeichen komme ich immer leicht durcheinander...

Schon mal danke im Voraus für die Hilfe
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 15:27:13    Titel:

Bei den meisten Summationsaufgaben mit Induktion über die Anzahl der Summanden n in lN geht es darum, irgend ein Glied der Summe (meist das letzte) abzuspalten. Die dadurch erhaltene Summe ist dann von der Anzahl der Summanden um eins kleiner, was dann als Induktionsannahme bereits geeignet formuliert worden. In deinem Fall ist es sicherlich auch so.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:02:13    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Bei den meisten Summationsaufgaben mit Induktion über die Anzahl der Summanden n in lN geht es darum, irgend ein Glied der Summe (meist das letzte) abzuspalten. Die dadurch erhaltene Summe ist dann von der Anzahl der Summanden um eins kleiner, was dann als Induktionsannahme bereits geeignet formuliert worden. In deinem Fall ist es sicherlich auch so.


und was genau bedeutet das jetzt?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:06:01    Titel:

Du wolltest Tipps. Die hast Du bekommen. Im Wesentlichen ist obiges eine Anweisung, wie man die Aufgabe löst.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:15:30    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Du wolltest Tipps. Die hast Du bekommen. Im Wesentlichen ist obiges eine Anweisung, wie man die Aufgabe löst.



dann guck ich mal was ich damit anfangen kann. im moment steht auf meiner stirn noch ein fragezeichen...

aber danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:43:57    Titel:

Was verstehst Du denn nicht. Glieder abspalten bedeutet:

sum_{i=0}^{n+1} a_i = a_(n+1) + sum_{i=0}^n a_i.

Und ganz rechts steht etwas, worauf man meistens die Induktionsannahme anwenden kann.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 15:48:46    Titel:

ich hätte noch zwei fragen dazu:

kann einem diese umnummerierung auch bei der lösung der aufgabe helfen??

wir haben notiert, summe von i=1 bis 2 ai kann man auch schreiben als

sum i=n bis m a = (m-n+1)*a

hab das bei der aufgabe h11 angewendet und bei dem induktionsanfang n=2 angefangen und auf beiden seiten 6 rausbekommen.
allerdings beim induktionsschritt von n nach n+1 hat das nicht geklappt.

also die aufgabe lautet ja sum von i=n bis 2n i = 3* sum von i=1 bis n i

dann hab ich für n die 2 eingesetzt

für den ersten teil der gleichung kommt dann sum von i=2 bis 4 2 = (4-2+1)*2=6

für den zweiten teil kommt dann 3* sum i=1 bis 2 1 = sum i=1 bis 2 3 = (2-1+1)*3 = 6

für n=3 hab ich genauso gerechnet, allerdings kommt da beim ersten teil 12 und beim zweiten teil 9 raus. und da 12 bekanntlich nicht gleich 9 ist... kann man das also nicht über diesen weg beweisen???


und wenn ober- und untergrenze gleich sind, dann ist das endergebnis doch einfach das glied ai bzw in der aufgabe i ?? oder hab ich das falsch verstanden??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 16:10:20    Titel:

Ich sehe leider keinen Bezug zur Aufgabenstellung von H10. Die ist doch total einfach, die Aufgabe. Ich tippe mal den Induktionsschritt hin:

sum_{i=1}^{n+1} (-1)^(i-1) i = (Abspalten des n-ten Gliedes)
(-1)^(n+1-1) (n+1) + sum_{i=1}^n (-1)^(i-1) i = (Induktionsannahme)
(-1)^n (n+1) + 1/4 (1 + (-1)^(n-1) (2n+1)) =
(-1)^n (n+1) + 1/4 + (-1)^(n-1) (2n + 1) / 4 =
(-1)^n (n+1) + 1/4 - (-1)^n (2n + 1) / 4 =
(-1)^n (n+1 - (2n + 1)/4) + 1/4 =
(-1)^n (1/2 n + 3/4) + 1/4 =
(-1)^n (2n + 3) / 4 + 1/4 =
1/4 (1 + (-1)^n (2(n+1) + 1)).

Und was ist das Problem nun?
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 16:36:30    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Ich sehe leider keinen Bezug zur Aufgabenstellung von H10. Die ist doch total einfach, die Aufgabe. Ich tippe mal den Induktionsschritt hin:
...
Und was ist das Problem nun?


also der bezug zur aufgabe h10 ist dass beide das summenzeichen enthalten und der weg das zu beweisen ist die induktion

das problem ist, dass ich mich mit dieser sorte aufgabe noch etwas schwer tue, dass ich schwierigkeiten hab mir was genaues darunter vorzustellen... das einzige was ich wirklich weiß ist, dass man versucht zu beweisen, dass diese aufgabe für n stimmt und deswegen dann auch für n+1
für aufgaben der art h9 (also ohne summenzeichen und so) hat das ja auch ganz gut geklappt, aber sobald das mit dem summenzeichen kommt setzt meine vorstellung aus.
mag sein dass die aufgabe leicht ist, aber ich hab im moment noch nicht den zugang dazu

ich arbeite jetzt mal alles durch was du hier reingeschrieben hast, vielleicht kommt dann das verständnis endlich auch (ich zweifle langsam schon an meiner sogenannten "intelligenz"....) Wink

jedenfalls danke schonmal
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