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Mikro
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Anmeldungsdatum: 14.05.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 17:18:16    Titel: Beweisen sie...

3 teilt n³-n für alle n element N , n >= 2 (soll größer gleich bedeuten)

hab das soweit umgeschrieben

n³-n = k * 3

Induktionsanfang für n =2

nun aber der induktionsschritt...

n zu n+1

=> (n+1)³-n+1 = k * 3

dann weiß ich nicht wirklich weiter...

Mikro
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:07:03    Titel:

Es gilt: n³-n = k * 3

n zu n + 1:

(n+1)³ - (n+1) = n³+3n²+3n+1 - (n+1) = n³+3n²+3n+1 - n-1 = (n³-n) + 3n² + 3n

Da n³-n = k*3 und 3n² + 3n = 3*(n²+n)
=> Es existiert ein l, so dass (n+1)³ - (n+1) = l * 3
Mikro
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Anmeldungsdatum: 14.05.2005
Beiträge: 27

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:20:07    Titel:

vielen Dank, das leuchtet auf jeden fall ein

mfg Mikro
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 18:22:13    Titel:

(n+1)³-(n+1)

n^3+3n²+3n+1-n-1
= n^3+3n²+3n-n
= n^3-3n²+2n
= [n^3-n] - [3n²-3n]

Der erste Ausdruck ist nach Induktionshypothese durch 3 Teilbar, der zweite auch, da du ne 3 ausklammern kannst.
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