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Binomialkoeffizienten
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Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:26:07    Titel: Binomialkoeffizienten

Hey!
Hab ein Problem mit folgender Aufgabe. Komme einfach nicht weiter:

Zeigen Sie:
Für alle k ∈ N, n ∈ N_0 mit k ≤ n gilt:
(n über k)+(n über k-1)=(n+1 über k)

Ich weiß, dass man das mit vollständiger Induktion zeigen muss. Den Induktionsanfang hab ich auch schon gemacht, das war soweit kein Problem, aber beim Induktionsschritt hänge ich fest!

Also: soweit bin ich: (für n+1):

(n+1 über k)+(n+1 über k-1)= ((n+1)!)/(k!(n+1-k)!)+((n+1)!)/((k-1)!(n-k+2)=((n+1)!*(k-1)!(n+2-k)!)+((n+1)!*k!*(n+a-k)!/(k!*(n+1-k)!*(k-1)!*(n+2-k)!)

Also ich hab das halt auf einen Nenner gebracht, aber jetzt weiß ich nicht wie ich das vereinfachen/was ich kürzen kann, weil ich leider keine Ahnung hab, wie man damit rechent (/rechnen darf). Hab mir auch schon Bücher angeguckt und so, aber so'ne richtige Erklärung hab ich da nciht gefunden. kann mir hier jemand helfen?!?!
albertus
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 137
Wohnort: Celle

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:28:17    Titel:

Ich glaube nicht, dass du Induktion brauchst. Versuch doch einfach, die Definition des Binomialkoeffizienten für alle drei Binomialkoeffizienten einzusetzen und durch algebraische Umformung auf eine wahre Aussage zu kommen Wink!

Gruß,
albertus.
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:30:26    Titel:

ok, probier ich mal, danke schonmal... Aber hab ich das denn dann damit bewiesen??? Sollte ich das denn nicht auch für n+1 zeigen?!
albertus
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 137
Wohnort: Celle

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:38:00    Titel:

Wahre Aussage genügt als Beweis. Die Induktion nach n+1 benötigst du für Aussagen, die sich nicht einfach in eine wahre Aussage überführen lassen, sodass du mit einem konkreten Beispiel arbeiten musst.

(n über k)+(n über k-1)=(n+1 über k)

n!/(k!*(n-k)!) + n!/((k-1)!*(n-k+1)!) = (n+1)!/(k!*(n-k+1)!) | * (n-k+1)!

n!*(n-k+1)/k! + n!/(k-1)! = (n+1)!/k! | * k!

n!*(n-k+1) + n!*k = (n+1)! | : n!

n-k+1 + k = n + 1

So langsam kommen wir der Sache näher, oder? Wink

Gruß,
albertus.
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:38:42    Titel:

ALso nehmen wir mal an, dass das reicht, wenn ich das nur für n zeigen muss, und nicht für n+1.
Dann hänge ich aber an fast der gleichen Stelle fest.
ich hab jetzt:
n!*(k-1)!*(n+1-k)!+n!*k!*(n-k)!/(k!(n-k)!*(k-1)!*(n-k+1)!)

Also ich hab das jetztwieder auf den Haupsnenner gebracht. Rauskommen mus irgendwann :
(n+1)!/(k!(n+1-k)!)
Aber jetzt weiß ich wieder nicht wie ich dahin komme, weil ich das geiche Problem hab! Wie kann ich denn mit den Fakultäen rechnen? wie kann ich da was kürzen?
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:39:43    Titel:

oh, du hast schon was geschireben.. moment das les ich jetz ma erst
albertus
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 137
Wohnort: Celle

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:41:35    Titel:

Wenn du dir mit den Fakultäten nicht ganz sicher bist, schreib dir Beispiele auf.

Aber so Sachen wie (nur ein Beispiel!)

(n!) / (n-1)! = n

sollten offensichtlich sein: Alles ab n-1 abwärts kürzt sich raus, also bleibt nur n im Zähler stehen. So oder ähnlich läuft das bei allen Schritten, die ich oben gemacht habe.

Gruß,
albertus.
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 20:51:55    Titel:

albertus hat folgendes geschrieben:


n!/(k!*(n-k)!) + n!/((k-1)!*(n-k+1)!) = (n+1)!/(k!*(n-k+1)!) | * (n-k+1)!



Ich verstehe diesen Schritt nicht! Genau das ist nämlich mein Problem. Ich weiß nämlich einfach nicht, wie man mit Fakultäten rechent. Kennste viell. irgendne Seite mit Regeln oder so? Wir haben nie irgendwas mit Fakultäten gemacht. Wusste bis heut morgen noch nicht mal, dass sowas existiert, ganz zu schweigen davon wie das geht Wink
Sitz schon seit heut mrogen um 10 daran. Ich hab das auch schon mit einigen Beispielen probiert, aber irgendwie bin ich glaub ich zu doof, das zu verstehen, obwohl cih mir die größte mühe geb . also es wär nett, wenn du mir diesen schritt noch einmal erklären würdest...
Danke
albertus
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 137
Wohnort: Celle

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 21:04:42    Titel:

Zitat:
n!/(k!*(n-k)!) + n!/((k-1)!*(n-k+1)!) = (n+1)!/(k!*(n-k+1)!) | * (n-k+1)!


Im Grunde müssen wir ja nur den 1. Summanden verändern, dann haben alle den gleichen Nenner und die Multiplikation ist einleuchtend.

(n-k)! bedeutet nun ja das Produkt (n-k) * (n-k-1) * (n-k-2) * ... * 2 * 1
Und (n-k+1)!, was wir eigentlich haben wollen, bedeutet
(n-k+1) * (n-k) * (n-k-1) * (n-k-2) * ... * 2 * 1
Also genau das gleiche wie (n-k)!, nur noch mit dem Faktor (n-k+1). Also müssen wir den linken Bruch um (n-k+1) erweitern:
n! * (n-k+1) / (k! * (n-k)! * (n-k+1))
Und da, wie eben beschrieben, (n-k)! * (n-k+1) das gleiche ist wie (n-k+1)!, können wir das dafür schreiben und die Multiplikation, die ich rechts neben den Regiestrich geschrieben habe, durchführen.

Gruß,
albertus.
Jersy
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Anmeldungsdatum: 22.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 21:06:06    Titel:

Cool, vielen Dank für deine Hilfe!!!
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