Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Allgemeiner Beweis/Analysis
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Allgemeiner Beweis/Analysis
 
Autor Nachricht
frig
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 05.11.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 21:28:32    Titel: Allgemeiner Beweis/Analysis

Als letztes benötige ich noch Hilfe bei folgender Aufgabe

Aufgabe 4

Beweisen Sie allgemein:
4.1Eine kubische Funktion f(x)= x+ax+bx+c hat keinen oder zwei Extrempunkte und genau einen Wendepunkt.

4.2 Die Steigung des Wendepunktes ist nicht negativ, falls die Funktion keine Extrempunkte besitzt.


Bei 4.1 habe ich allgemein die Funktion abgeleitet und =0 gesetzt, dann weiß ich schon wieder nicht weiter.Weiß jemand Rat?
Frig
albertus
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 137
Wohnort: Celle

BeitragVerfasst am: 05 Nov 2005 - 22:54:45    Titel:

Lass mich raten: Du hast dich wieder verschrieben und es muss heißen:
f(x) = x³ + ax² + bx +c
f'(x) = 3x² + 2ax + b
3x² + 2ax + b = 0
x² + (2/3)ax + b = 0
(x + (1/3)a)² - (1/9)a² + b = 0
x + (1/3)a = wurzel((1/9)a² - b) oder -wurzel((1/9)a² -b)
x = wurzel((1/9)a² - b) - (1/3)a oder -wurzel((1/9)a² - b) - (1/3)a
Entweder ist (1/9)a² - b positiv, dann gibt es zwei Lösungen, oder negativ, dann keine. Ist (1/9)a² - b = 0, gibt es genau eine Lösung, nämlich x = -(1/3)a
f''(x) = 6x + 2a
f''(-(1/3)a) = -2a + 2a = 0
Da die 2. Ableitung in diesem Fall auch 0 ist, handelt es sich dann nicht um einen Extrempunkt. (hinreichende Bedingung verletzt)

Wendepunkt:
6x + 2a = 0
6x = -2a
x = (1/3)a
Diesen Wendepunkt gibt es immer.
Hinreichende Bedingung:
f'''(x) = 6
also immer ungleich 0.

4.2)
Wendepunkt ist bei x = (1/3)a
f'((1/3)a) = (1/3)a² + (2/3)a² + b = a² + b
keine Extrempunkte: (1/9)a² - b kleiner oder gleich 0
also (1/9)a² kleiner gleich b bzw. b größer gleich (1/9)a²
also ist f'((1/3)a) größer oder gleich a² + (1/9)a² = (10/9)a²
Und da das Quadrat immer positiv ist und 10/9 auch positiv kommt immer ein positiver Wert für f' heraus an der Wendestelle x = (1/3)a.

Gruß,
albertus.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Allgemeiner Beweis/Analysis
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum