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Beweis: injektiv, Kern von f
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis: injektiv, Kern von f
 
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Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 11:21:45    Titel: Beweis: injektiv, Kern von f

Guten morgen!
Ich muss folgendes beweisen:

Sei f:V->W lineare Abbildung. Dann gilt:

f:V->W injektiv <=> ker(f)={0}

Ich soll beide richtungen zeigen!

Leider versteh ich das irgendwie überhaupt nicht. Ich hab nicht mal den Ansatz einer Idee, wie ich hier was zeigen kann.
Wer kann mir auf die Sprünge helfen?
Nerak23
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Anmeldungsdatum: 08.10.2005
Beiträge: 408

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:23:51    Titel:

Oh, das ist nicht schwer!

Ansatz:

Hinrichtung:

Nimm an, f injektiv.

Weiter weisst Du, da f linear f(0)=0. (*)

Also: Für alle x,y in V mit x ungleich y gilt f(x) ungleich f(y).

Nimm an, es gibt ein z in Ker(f), mit z ungleich 0. Und jetzt betrachte Aussage (*), und folgere die Behauptung.


Rückrichtung:

Sei Kern(f)={0}.
Angenommen, es gibt x,y in V mit f(x)=f(y).
Nutze nun die Linearität von f.
f(x)-f(y)=0 also f(x-y)=0. Die letzte Schlussfolgerung kannst Du nun selbst direkt ziehen!
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 13:58:06    Titel:

Ok, vielen Dank, das mach ich jetz mal so und guck ob ich das allles verstehe...
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