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Aufgaben zu Wendepunkten!
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falcoandadrian
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:04:04    Titel: Aufgaben zu Wendepunkten!

Hi, wir haben vor kurzem diese beiden Aufgaben bekommen und ich weiß nicht wie genau ich das machen muss!

1) Jede ganz rationale Fkt. 5. Grades hat mindestens 1 Wendepunkt.

2) Es gibt eine ganzrationale Funktion 5. Grades mit genau 2 Wendepunkten!

Die Aufgabe ist es, diese Behauptungen zu beweisen!


Meiner Meinung nach müsste die 1. Behauptung stimmen, da ja der gRAPH x^5 einen graph hat, der so aussieht, dass er einen Wendepunkt hat, eigentlich hat er ja sogar 2! Stimmt meine Überlegung? Zu Nr. 2 weiß ich gar nichts!
t0m84
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:13:37    Titel:

Um die Wendepunkte herrauszubekommen musst du die 2. Ableitung 0 setzen! wenn du dann einen Punkt herrausbekommst gibt es einen Wendepunkt! Beweisen kannste das dann mit der allgemeinen Gleichung
F(x):=ax^5+bx^4+cx³+dx²+ex+f
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:29:48    Titel:

Für die Beweise muss Du die Vorraussetzungen für Wendepunkte verwenden...

Also 2. Ableitung muss für einen bestimmten x-Wert gleich Null sein,
die 3. Ableitung für den selben x-Wert ungleich Null...

Nimmt man jetzt die allgemeine Gleichung 5ten Grades:

f(x) = ax^5 + bx^4 + cx^3 + dx^2 + ex + f

Dann einfach 3 mal ableiten:
f'(x) = 5ax^4 + 4bx^3 + 3cx^2 + 2dx + e
f''(x) = 20ax^3 + 12bx^2 + 6cx + 2d
f'''(x) = 60ax^2 + 24bx + 6c

Jetzt kann man das von Aufgabe 1 so argumentieren:

Die 2. Ableitung ist 3. Grades, hat also 3 Nullstellen und
die 3. Ableitung ist 2. Grades, hat also maximal 2 Nullstellen
damit bleibt immer eine Nullstelle der 2. Ableitung übrig an der die 3. Ableitung ungleich Null ist,
und damit existiert immer mindestens ein Wendepunkt...

Zur 2.Aufgabe:
Wenn für die 3. Ableitung 2ten Grades keine Nullstellen existieren, d.h. die 3. Ableitung für alle x € IR ungleich Null ist, so können auch mindestens 2 Wendestellen existieren, falls x-Werte existieren für die die 2.Ableitung trotzdem Null ist...
falcoandadrian
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:31:59    Titel:

Zitat:
Um die Wendepunkte herrauszubekommen musst du die 2. Ableitung 0 setzen!


Das ist mein Problem, ich weiß dass es einen Wendepunkt gibt, wenn die 2. Ableitung 0 ist und die 3. nicht 0 , nur ich weiß net was das bedeutet, wenn die Ableitung 0 ist!

Die erste Ableitung bei Nr. 1 wäre doch 5x^4 , die 2. 4x^3 und die dritte 3x^2 oder? Warum ist dann 4x^3=0 ?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:36:14    Titel:

Das Problem ist, das man sich nicht auf irgendeine Funktion 5ten Grades stürzen darf und irgendwas rechnet...
Man muss das Problem allgemein betrachten, denn eine Funktion zu finden, die diese Vorraussetzungen erfüllt ist reine Glückssache...
falcoandadrian
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:44:40    Titel:

Zitat:
damit bleibt immer eine Nullstelle der 2. Ableitung übrig an der die 3. Ableitung ungleich Null ist,
und damit existiert immer mindestens ein Wendepunkt...



was ist hiermit gemeint?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 12:51:19    Titel:

Wenn man die zweite Ableitung gleich Null setzt, kann man, da diese 3ten Grades ist 3 Nullstellen finden...
Da die 3. Ableitung aber 2ten Grades ist, also maximal 2 Nullstellen existieren können haben wir immer eine Nullstelle der 2. Ableitung übrig
also muss die 3. Ableitung an mindestens einer Stelle ungleich Null sein für die die 2. Ableitung gleich Null ist...

Und somit haben wir immer einen Wendepunkt...
falcoandadrian
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 17:31:27    Titel:

Zitat:
Da die 3. Ableitung aber 2ten Grades ist, also maximal 2 Nullstellen existieren können haben wir immer eine Nullstelle der 2. Ableitung übrig
also muss die 3. Ableitung an mindestens einer Stelle ungleich Null sein für die die 2. Ableitung gleich Null ist...


könnte mir ma bitte einer diesen satz erläutern? danke
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