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Parabelfunktion und Tangentenpunkt, aber wie rechnen ?
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chris1982nrw
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 15:22:09    Titel: Parabelfunktion und Tangentenpunkt, aber wie rechnen ?

Hallo,

ich brauch unbedingt Hilfe bei folgender Aufgabenstellung:

Die Mittellinie der gezeichneten Rennstrecke wird durch
f(x)=-0,5x^2+4 beschrieben.
Bei spiegelglatter Fahrbahn rutscht ein Fahrzeug und landet im
Punkt Y(0;6) in den Strohballen.
Wo hat das Fahrzeug die Straße verlassen ?
Fertigen Sie zuerst eine Zeichnung an.


Die Zeichnung hab ich schon gemacht, und der Punkt,
wo der Fahrer sein Auto nicht mehr unter Kontrolle hat,
den weiß ich damit ja auch schon, da ich die Tangente gezeichnet
habe.
Der Punkt wäre somit P0(-2;2).

Aber wie komme ich rechnerisch auf diesen Punkt P0(-2;2) Question

Danke für Hilfen aller Art.

Chris
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 15:49:26    Titel:

Deine Tangente hat die allgemeine Form: t(x) = ax+b
Sie beinhaltet den Punkt y = (0,6) => t(0) = b = 6 => t(x) = ax + 6

Die Tangente schneidet die Funktion f(x) in einem Punkt p und die Steigung der Tangente ist gleich der Steigung der Funktion f in diesem Punkt p.
f'(x) = -x
t'(x) = a da f'(p) = t'(p) => der Schnittpunkt p = -a

Das heißt, dass f(-a) = t(-a) => -1/2 (-a)² + 4 = a*(-a) + 6
<=> a² + 2a*(-a) + 4 = 0 <=> a² - 2a² + 4 = -a² + 4 = 0
<=> a² = 4 <=> a = 2 oder a = -2
Welcher von diesen zwei Punkten es genau ist, hängt davon ab, wie herrum der fahrer gefahren ist!

Einsetzen zweite Koordinate berechnen fertig
chris1982nrw
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 06 Nov 2005 - 16:22:39    Titel: Habs jetzt so gemacht.

f(x)=-0,5x^2+4 ; Y(0;6)

1. Da die Tangente mit der Parabelfunktion einen gemeinsamen
Berührpunkt haben, habe diese auch die gleiche Steigung.

Nun ist die Parabel aber eine negative und die Tangente ist
positiv. Damit ergibt sich für die Steigung der Tangente der
negative Kehrwert der Parabelsteigung, somit 2.

Die Funktion für die Tangente lautet nun: t(x) = 2x+b
b lässt sich nun einfach durch den Punkt Y(0;6) einsetzten,
und es ergibt sich folgende Tangentenfunktion:
t(x)=2x+6

2. Parabelfunktion und Tangentenfunktion gleichsetzen,
um Berührpunkt auf der x-Achse zu finden, und damit
auch Berührpunkt auf der y-Achse auszurechnen:

2x+6 = -0,5x^2+4 / -2x / -6
0 ´= -0,5x^2 -2x -2

pq-Formel oder Mitternachtsformel

x= -2 (also nur ein Wert für x, und damit eine Tangente,
da der Wurzelwert gleich 0 ist).

Somit berührt die Tangente die Parabel an der Stelle
P(-2;?) <-- nun einfach die -2 für x in Tangentenfunktion einsetzen:
y=2*(-2)+6 = 2

und nun hat man den kompletten Berührpunkt ausgerechnet:
P(-2;2).

Ende. Razz

Somit gar nicht so schwer das Ganze.

Danke für Hilfe.

Chris.
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