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Nullstellen+Newton
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koma
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Anmeldungsdatum: 18.10.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 20:37:00    Titel: Nullstellen+Newton

Nabend.

Hätt da ma wieder ne Frage an euch. Habe hier folgende Funktion.

f(x)=1/64*x^4+1/24*x^3-x

Wie im Topic beschrieben benötige ich davon für die Kurvendiskussion die Nullstellen. Also habe ich folgendes gemacht:

1. 1/64*x^4+1/24*x^3-x=0

2. x(1/64*x^3+1/24*x^2-1)=0

Würde ja bedeuten, dass x=0 oder 1/64*x^3+1/24*x^2-1=0 sind. So durch ausprobieren habe ich mittlerweile festgestellt, dass eine Nullstelle zwischen 3,28 und 3,29 sein müsste. Wenn ich aber so mit dem Probieren weiter mache bin ich ja morgen noch nicht feddich damit. Nun weis ich, dass es dafür andere Methoden gibt. Unser Lehrer erwähnte das "Newton Verfahren".
Wäre nett, wenn mir jemand anhand von diesem Beispiel mal dieses Verfahren erläutern könnte.
Mit den Erklärungen, die ich bislang im Netz gefunden habe konnte ich nicht wirklich etwas anfangen.

MFG koma
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 21:35:33    Titel:

Auf http://de.wikipedia.org/wiki/Newtonsches_Verfahren ist das Verfahren von Newton eigentlich sehr gut erklärt.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 21:40:15    Titel:

Mir ist überhaupt nicht klar, wie Du mit Newtonverfahren Kurvendiskussion machen willst. Da hat eurer Lehrer wohl was enders gemeint. Was Du machen solltest ist dich von den Nennern weg zu lösen indem Du die Gleichung mit Hauptnenner multiplizierst. Danach den Satz anwenden (den ich schon 20 mal hier zitiert habe):

Falls p/q eine rationale Nullselle eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten ist, so ist p ein Teiler des konstanten Gliedes und q ein Teiler des Koeffizienten mit höchster x Potenz.

Das liefert ein Durchprobieren von recht wenig vielen Brüchen (Du hast ja schon ein isolierendes Intervall gefunden).
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 22:32:36    Titel:

Mit Newton geht es schon
Du nimmst die Funktion g(x) = 1/64 x³ + 1/24 x² - 1
Dann benötigst Du die 1. Ableitung und einen Startpunkt. Als Startpunkt kannst du 3,28 nehmen.
g'(x) = 3/64 x² + 1/12 x
Dann einfach nach dem Schema xi+1 = xi - g(xi) / g'(xi)
Nach ein paar Schritten kommst Du auf eine gute Näherungslösung, die recht nahe bei 3,28 liegt.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 22:53:46    Titel:

Zitat:
Nach ein paar Schritten kommst Du auf eine gute Näherungslösung, die recht nahe bei 3,28 liegt.


Und was bringt es Dir? Es war jetzt nicht so gemeint, dass ich nicht weiß, was Newetonverfahren macht, mein Studiumschwerpunkt war angewandte Optimierungstheorie in der Robotik. Die Frage hier ist:

Wie willst Du dann mit der Näherung x_0, bei der f(x_0) nicht 0 ist, eine Kurvendiskussion machen? Jetzt abgesehen davon, dass Newtonverfahren nicht immer gegen eine Nullstelle konvergiert bzw. überhaupt nicht konvergiert.

Sollten das z.B. Nullstellen einer Ableitung sein, so kann man daraus überhaupt nichts schließen. Es gibt z.B. folgende Fälle:

i) Der Graph verpasst die X-Achse sehr geringfügig und man hat zu früh abgebrochen (aber gezeichnet sieht das so aus, als ob ein Berührpunkt vorliegt)
ii) Es gibt viele dicht aneinander liegende Nullstellen
iii) Das Verfahren schaukelt zwischen zwei sehr nahe liegenden Punkten ohne gegen eine Nullstelle zu konvergieren
usw.

Es ist mir schon klar, dass für diese Pfurz-Aufgaben auch eine Näherung reicht, denn der Kollege oben wird sowieso den Bruch, der da rauskommt als nächstes runden Smile Dieses Forum ist aber ein Uni-Forum und die Ratschläge sollten auch auf Uni-Niveau sein.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 22:57:29    Titel:

Nachtrag: Ich merke gerade, das ist ein übler Fall. Es gibt gar keine rationalen Nullstellen. Na dann viel Spaß mit Newton (außer Cardano) gibt es hier sonst keine Möglichkeiten.
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 22:58:53    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Dieses Forum ist aber ein Uni-Forum und die Ratschläge sollten auch auf Uni-Niveau sein.


jo, und es ist aber viel mehr ein Schüler/Schul Forum mMn^^

Ausser vieleicht 2 beliebte Themen

Induktionsbeweise und Äquivalenzklassen

(wobei ich am liebsten die Äquivalenzklassenstellvertretersysteme empfunden habe, das Wort alleine ist schon mal gigantisch^^ )

Thema:
Also ich gebe ihm vollkommen recht, Newton bringt hier gar nichts, denn er konvergiert nur in einer lokalen Umgebung um die Nullstelle und wer kennt die denn schon vorher? Aber was macht man dann mit dieser Nullstelle? Das wüsste ich auch gerne, denn andere Exptrempunkte findet man dadurch nicht.

Edit
algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Nachtrag: Ich merke gerade, das ist ein übler Fall. Es gibt gar keine rationalen Nullstellen. Na dann viel Spaß mit Newton (außer Cardano) gibt es hier sonst keine Möglichkeiten.


hatse maple genommen du schummler^^
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 23:01:46    Titel:

@algebrafreak:
Die Erklärung des Verfahren war auch nicht für Dich bestimmt, da ich schon angenommen habe, dass Du dieses Verfahren kennst.
Ausserdem wollte koma dieses Verfahren erklärt haben und ich schätze, dass ihm eine Näherungslösung ausreicht.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 23:34:28    Titel:

Zitat:
jo, und es ist aber viel mehr ein Schüler/Schul Forum


Das hängt sehr von der Jahreszeit ab. Wenn Schulferien sind aber Semester läuft gibt es fast keine Idiotenfragen hier. Ansonsten versuche ich den Namen des Forums stets aufrecht zu erhalten und antworte gar nicht oder nur Ansatzweise und theoretisch auf Schülerfragen. Da leider viele meinen solche Fragen beantworten zu müssen (vermutlich weil die Antworten leicht sind) kann hier sehr schnell ein Niveau von "Was ist 2+3" erreicht werden, wie dies etwa am Schuljahresanfang ist. Am schönsten sind die Sommerzeiten, wo die ganzen Quitchies im Urlaub sind.

Zitat:
Aber was macht man dann mit dieser Nullstelle? Das wüsste ich auch gerne, denn andere Exptrempunkte findet man dadurch nicht.


Es gibt viele interessante Antworten. Z.B. gibt es eine algebraische Formel nach Cardano (mit ein paar cos/arccos dazwischen). Die andere Möglichkeit ist es Root-Isolation zu betreiben. Man bastelt sich eine Sturm-Sylvester-Kette und halbiert solange (Bisektion), bis alle Nullstellen isoliert sind. Dann identifiziert man die Intervalle, in denen dann jeweils eine Nullstelle liegt, mit den Nullstellen, die darin liegen. Mit solchen kann man auch schön rechnen. Dadurch kann man auch weitere Nullstellen in dieser Form berechnen durch "Polynomdivision".
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 08 Nov 2005 - 23:41:54    Titel:

1) ok, also soll ich keine leichten fragen mehr beantworten?

mach ich auch so nimmer, da die meisten mit suchefunktion zu erreichen sind^^

2) ok, das man sich so auf immer auf weitere nullstellen einigen kann ist klar, wenn mir auch die namen nicht sagen und ich 5 numerik vorlesungen hatte^^

naja, ich schlage sie vieleicht mal später nach

3) wo sind denn hier die mods?

denn wenn die solche fragen durchgehenlassen, dann sind wir bald bei 2000 Seiten mit threads (es geht nicht um diese, denn sie ist ja immerhin 4 semester mathe)

brabe
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