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funktionen & Beverton- Holt Modell
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Amanita
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2
Wohnort: Berlin

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 10:51:09    Titel: funktionen & Beverton- Holt Modell

Ich hab einige Probleme bei diesen zwei Aufgaben, vorallem bei der zweiten hab´ ich gar keine Ahnung, wie ich das lösen kann.

Kann mir jemand helfen?



3. Wir nehmen an, ein Waldgebiet wird von einem Pilz befallen, der sich von
der Waldmitte aus nach außen hin ausbreitet. Anf¨anglich ist nur ein Baum betroffen,
und der Pilz breitet sich mit konstanter Geschwindigkeit von 3m pro Tag
gleichm¨aßig in alle Richtungen aus. Welche Fl¨ache wird nach 2 Tagen, welche nach
4 Tagen befallen sein? Man schreibe die befallene Fl¨ache (gemessen in m2) als
Funktion der Zeit (gemessen in Tagen) und zeige, dass diese Funktion ein Polynom
zweiten Grades ist.

4. Skizzieren Sie die Graphen der folgenden Funktkionen:
i) f(x) = -(x-2)² + 1
ii) f(x) = 3 + 1/x
iii) f(x) = - (1/1-x)

Das Skizzieren schaffe ich gerade noch so... aber dann:


Sei allgemein f : D ! R, D E R, eine Funktion, und seien a, b E R. Wir definieren
g(x) = f(x-a)+b für x E a+D = {a+d; d E D}. Beschreiben Sie in Worten und
durch eine Skizze, wie man den Graphen von g geometrisch aus dem Graphen von
f erhält. Tun Sie dasselbe mit den Graphen von h1(x) = f(-x), h2(x) = -f(x)
und h3(x) = -f(-x).


5. Bei einigen Organismen h¨angt die Sterblichkeitsrate der Nachkommen von der
Besiedelungsdichte ab. Ein einfaches mathematisches Modell, das den Einfluss der
Besiedelungsdichte auf die Sterblichkeit modelliert, ist das Beverton-Holt Modell :
Sei Nb die Dichte der Eltern, Na die Dichte der ¨uberlebenden Nachkommen.
Unter der Annahme, dass die Besiedelungsdichte keinen Einfluss auf die Sterblichkeit
hat, gehen wir von der Proportionalit¨at von Na und Nb aus, d.h. Na = RNb
f¨ur ein geeignetes R > 1 (Na ist dann also eine lineare Funktion von Nb). Definiert
man eine neue Gr¨oße durch N = Nb/Na
, so gilt in diesem Fall N = 1/R ist konstant.
Hierbei fassen wir N als Funktion von Nb auf.
Im Gegensatz dazu ist der Ansatz im Beverton-Holt Modell, N nicht mehr als
konstante sondern als wachsende Funktion von Nb zu modellieren. Genauer: Man
nimmt an, zwischen den Gr¨oßen N und Nb besteht eine lineare Funktionsbeziehung,
d.h. der Graph von N als Funktion von Nb ist eine Gerade. Man nimmt weiter an,
dass diese Gerade durch die Punkte (0, 1
R) und (K, 1) verl¨auft, wobei K > 0 ist.
Aufgrund dieses Ansatzes nun zeige man:
i) Na ist im Beverton-Holt Modell eine rationale Funktion von Nb. Man berechne
explizit diese Funktionsbeziehung (in analytischer Darstellung).
ii) Man zeige, daß Na(Nb) = K falls Nb = K. Ferner zeige man, dass, falls Nb <
K, auch Nb < Na(Nb) < K gilt, und, falls Nb > K, so ist K < Na(Nb) < Nb.
Wie ist das zu interpretieren?
iii) Skizzieren Sie den Graphen von Na als Funktion von Nb f¨ur R = 2 und K = 20.
Was passiert f¨ur große Werte von Nb (Nb --> unendlich)?
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