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indirekter beweis-reicht das?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> indirekter beweis-reicht das?
 
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zimbator
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 19:42:05    Titel: indirekter beweis-reicht das?

hallo,also folgende aufgabe wurde mir gestellt und ich habe nun ein indirekten beweis gemacht.ich weiß aber nicht ob das reciht. kann mir damit weitrehelfen ob das so reicht?

Zeigen Sie:
a) Sei a Element aus N, a > 1 keine n-te Potenz einer ganzen Zahl. Dann ist n-te wurzel von a kein Element von Q


Indirekter Beweis:

Wenn n-te Wurzel aus a rational wäre, dann wäre n-te Wurzel aus a darstellbar als p / q mit p, q natürlich. Daraus folgt a = p^n / q^n. Laut Voraussetzung ist aber a natürlich und keine n-te Potenz einer natürlichen Zahl - Widerspruch.


reicht das so???ich hoffe mir kann da jemand helfen
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
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BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:05:30    Titel:

die n-te potenz einer natürlichen zahl ist auch wieder nätürlich falls n aus n. würd sagen dass es falsch ist
zimbator
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:07:03    Titel:

hä???und wie kann ich das sonst machen??ßich habe keinen anderen weg gefunden
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:08:15    Titel:

guck dir aber mal an, aus wie vielen faktoren a jeweils p und q bestehen, dann siehst du die lösung. dein ansatz mit indirektem beweis ist ok.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:12:04    Titel:

hier mal für die 2-te wurzel. die n-te lässt sich verallgemeinern:

Angenommen, es gäbe eine rationale Wurzel von p, dann könnte man sie als w bezeichnen und es müsste w=m/n existieren.
Dann wäre w²= m²/n² = p also
pn²=m² (Die Gleichung ist richtig für n=m=0, aber das wird mit n ungleich 0 ja ausgeschlossen.)
Auf der linken Seite kämen in m irgend eine Anzahl des Primfaktors p vor (0, 1, 2, 3 oder was auch immer) in m² sind dann logischerweise doppelt so viele vorhanden (0, 2, 4, 6 oder was auch immer) aber auf jeden Fall eine gerade Anzahl Des primfaktors p.
Auf der linken Seite der Gleichung sind in n² auch eine gerade Anzahl des Primfaktors p enthalten, aber es steht ja noch einmal die Primzahl p davor, also gibt es insgesamt eine ungerade Anzahl Des Primfaktors p.
Das aber widerspricht der Eindeutigkeit der Zerlegung in Primfaktoren- denn dadarf auf jeder Seite der Gleichung, deswegen heißt es ja Gleichung, nur die selbe Anzahl des Primfaktors p stehen, also war die Annahme falsch, w sei eine rationale Zahl, somit ist sie nicht rational, also irrational.
zimbator
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:14:39    Titel:

kann ich das so einfach aufmeine aufgabe beziehen?? und muss ich dann nur noch die hoch 2 durch hoch n ersetzen??
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:19:04    Titel:

mach ne fallunterscheidung für gerade und ungerade:

gerade zahlen sind durch 2 teilbar ungerade nicht.
TheDude101
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Anmeldungsdatum: 09.11.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:23:44    Titel:

Keine Ahnung wovon ihr redet aber mir egal :p^^
zimbator
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Anmeldungsdatum: 01.11.2005
Beiträge: 104

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:26:29    Titel:

ja okay...aber muss das nicht heißen: Auf der rechten Seite kämen in m irgend eine Anzahl des Primfaktors p ....oder auf der linken seite???
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 20:32:49    Titel:

denk dran: m>n da a>1, genauso n>1 da natürliche zahl
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