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Beweis: Vollständige Induktion
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Jay2000
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Anmeldungsdatum: 09.11.2005
Beiträge: 149

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 21:13:33    Titel: Beweis: Vollständige Induktion

Hi @ all!

Ich bin Ersti und darf mich jetzt mit der vollständigen Induktion beschäftigen.
Das Grundprinzip ist ja auch ganz simpel und nachvollziehbar ABER

die Umsetzung in die Praxis ist mein Problem.

Hier ein Beispiel aus Wikipedia:

Behauptung: A(n): 1 + 3 + ... + (2n+1) = (n+1)²

Beweis:

A(0): (2*0+1) = 1 = (0+1)², eine wahre Aussage.

Die Behauptung sei für ein beliebiges n gültig. Für n+1 erhalten wir

A(n+1): 1 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+3) = ((n+1) + 1)².

Da die Behauptung für n gültig ist, folgt

1 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+3) = (n+1)² + (2n+3) = (n+2)² = ((n+1) + 1)²

Somit ist die Behauptung bewiesen.


Beim Induktionsschritt hörts auf bei mir. Also ab A(n+1).
Man geht doch davon aus, dass die Aussage für n stimmt und zeigt dann, dass sie für n+1 gilt.

Wie setze ich das dann auf dem Papier in mathematischer Form um?

Überall findet man Erklärungen zu diesem Thema, aber irgendwie steht dort immer das gleiche. Ab A(n+1) weis ich nicht mehr woher die beiden Seiten der Gleichung kommen.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 21:17:32    Titel:

(n+1): 1 + 3 + ... + (2n+1) + 2(n+1)+1

vielleicht hilft dir das
Jay2000
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Anmeldungsdatum: 09.11.2005
Beiträge: 149

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 21:55:04    Titel:

BBFan18 hat folgendes geschrieben:
(n+1): 1 + 3 + ... + (2n+1) + 2(n+1)+1

vielleicht hilft dir das



nein nicht wirklich muss ich gestehen. Sad

Am besten wär mir könnte einer sagen wie ich da im Allgemeinen vorgehen muss.

Ich hätte jetzt bei A(n+1) für jedes n einfach n+1 eingesetzt und dann irgendwie rumgerechnet.

Aber wo kommt denn eigentlich das 2n+3 her? Ist das durch umformung enstanden? wenn ja was wurde da wie umgeformt?

Die komplette Zeile

A(n+1): 1 + 3 + ... + (2n+1) + (2n+3) = ((n+1) + 1)²

ist mir ein Rätsel. Keine Ahnung, was da wie und vor allem WARUM verändert wurde.
Jay2000
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Anmeldungsdatum: 09.11.2005
Beiträge: 149

BeitragVerfasst am: 09 Nov 2005 - 22:54:53    Titel:

kann mir keiner ne kleine Hilfe geben? Oder eventuell n Link zu einer guten Erklärung des Themas?

Am besten eine Erklärung für "ich bin 50 und arbeite immer noch an meinem Studium" Razz
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2005 - 02:01:19    Titel:

man nimmt an, dass die Behauptung für das n-te Glied der Reihe gilt und zeigt, dass sie auch für das (n+1)-te Glied gilt.
Bei der vollständigen Induktion schreibt man also wie in diesem Fall eine Reihe z.b. bis zum n-ten Glied auf und fasst diese mit einer Summenformel zusammen, hier (n+1)². Das ist die Behauptung. Im weiteren zeigt man, dass die Behauptung auch für n+1 Glieder gilt, man schreibt demnach die Reihe bis zum n+1-ten Glied indem man das letzte Glied gemäß den Gesetzen der Folge hinzufügt. In diesem Fall wächst jedes Folgeglied um den Wert 2 an. Somit lautet das (n+1) -te Glied (2n+1)+2=(2n+3). Die Formel für die Reihe bis zum n-ten Glied lautet ja (n+1)². Zu diesem Ausdruck addiert man schlicht das (n+1)-te Glied auf, also (n+1)²+(2n+3). Das soll ((n+1)+1)² oder (n+2)² ergeben, denn für n wird ja (n+1) eingesetzt. Um das zu beweisen rechnet man einfach nur (n+1)²+(2n+3) aus und hats, also n²+2n+1+2n+3=n2+4n+1=(n+2)² qed.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2005 - 14:00:00    Titel:

frage: wofür steht eigentlich dieses qed??
ich hab das mal unter n paar beweisen drunter geschrieben weil ich gehört hab dass das ganz gut sein soll aber wenn mich hinterher jemand danach fragen sollte würde ich gerne antworten können
kommt des aus dem lateinischen?

bis jetzt hab ich auch probleme mit derartigen aufgaben, den indutktionsschritt bekomme ich nicht bewiesen (hab letztens n paar stunden an einer aufgabe verbracht, abends war ich fix und alle und habs trotzdem nicht hingekommen)

(vielleicht ne dumme) zweite frage: wenn ich da ne komplizierte aufgabe vor mir hab... woher weiß ich, um wieviel sich das jeweils erhöht und dementsprechend dass ich in diesem fall 2(n+1)+2 = 2n+3 dazu addieren muss?
Jay2000
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Anmeldungsdatum: 09.11.2005
Beiträge: 149

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2005 - 23:02:18    Titel:

schwanzbartkiller hat folgendes geschrieben:
Die Formel für die Reihe bis zum n-ten Glied lautet ja (n+1)². Zu diesem Ausdruck addiert man schlicht das (n+1)-te Glied auf, also (n+1)²+(2n+3). Das soll ((n+1)+1)² oder (n+2)² ergeben, denn für n wird ja (n+1) eingesetzt.


Hat man durch die Umformung von (2n+1)+(2n+3) zu (n+1)² + (2n+3) nicht die Regel, die ich beweisen soll schon angewandt? Ist das nicht unzulässig in einer Beweisführung?

Aber wenigstens versteh ich jetzt schonmal was das gerechnet wurde. Thx!

miriam84 hat folgendes geschrieben:
frage: wofür steht eigentlich dieses qed??
ich hab das mal unter n paar beweisen drunter geschrieben weil ich gehört hab dass das ganz gut sein soll aber wenn mich hinterher jemand danach fragen sollte würde ich gerne antworten können
kommt des aus dem lateinischen?


Das ist lateinisch und heiß "Was zu beweisen war."


miriam84 hat folgendes geschrieben:
(vielleicht ne dumme) zweite frage: wenn ich da ne komplizierte aufgabe vor mir hab... woher weiß ich, um wieviel sich das jeweils erhöht und dementsprechend dass ich in diesem fall 2(n+1)+2 = 2n+3 dazu addieren muss?


Man muss auf beiden Seiten das Folgeglied nehmen. Da es sich bei (2n+1) um eine UNGERADE Zahl handelt, muss man logischerweise 2 dazu addieren. Sonst erhältman doch wieder eine gerade Zahl. Setzt mal für n die 2 ein. Dann hast du 5 nach (2n+1). Das nächste Glied wär 7, also 2 mehr.
schwanzbartkiller
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1264
Wohnort: Düsseldorf

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 20:02:06    Titel:

ja das ist ein bekanntes Problem mit dieser Art der Beweisführung.

Im Prinzip beweist man etwas, das schon bewiesen ist, ein zweites mal.

Dem Prinzip nach wird aber eine Behauptung belegt, denn es könnte ja sein, dass sich eine andere Summenformel durch hinzutun eines Folgegliedes als angenommen ergibt. Die vollständge Induktion ist allerdings z.B. bei Problemen der Laplace-Entwicklung (Lineare Algebra) sehr nützlich. Wenns euch interessiert such ich das mal raus.

Summenformeln wie diese aber werden zunächst bei der Entdeckung natürlich durch zahlreiche Spezialfälle für unterschiedliche n verifiziert. Die vollständige Induktion ist bei einfachen Problemen eher eine formale Bestätigung dessen, was man ohnehin schon weiss.

qed=quod erat demonstrandum=was zu beweisen war
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