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Abbildung bijektiv
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mathebär
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Anmeldungsdatum: 10.11.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 10 Nov 2005 - 22:08:14    Titel: Abbildung bijektiv

Hallo,

ich habe ein großes Problem mit der Aufgabe.

Seien X,Y, Z Mengen und man zeige, dass die Abbildung
f: Potenzmenge (X) -> Abb (X, {0,1}, A -> 1A (wobei 1A die Indikatorfunktion der Teilmenge A von X ist) bijektiv ist.

Bijektiv heißt, dass es zu jedem Element aus beispielsweise X ein Element in Y gibt und umgekehrt. In diesem Fall heißt es also, dass es zu der Potensmenge von X {0^2, 1^2} je ein Element gibt.

Das ganze hört sich chaotisch an und das ist mein typisches Problem mit Beweisanfängen. Wie kann ich aus den Stichpunkten einen ordnungsgemäßen Beweis erstellen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 16:37:18    Titel:

Naja. Das ist irgendwie trivial. Der Beweis ist sogar konstruktiv.

Bew: Sei M in P(M). Definiere Abbildung f_A : M -> {0,1} mit f_A(m) = 1 gdw. m in A. Dann ist die Zuordnung (Operator O : P(M) -> Abb(M,{0,1})) eindeutig, d.h. injektiv. Betrachte nämlich für Funktionen f_M' : M -> {0,1} und f_M'' : M -> {0,1} nach obiger Konstruktion die Urbilder (also Mengen in P(M)) M' und M''. Sei m in M'. Dann ist f_M''(m) = 1 = f_M'(m). Dann ist aber m in M'' nach Konstruktion. Andere Richtung analog. Also gilt M' = M''. Somit haben Wir gezeigt O(M') = O(M'') => M' = M''. D.h. O ist injektiv. Zur Surjektivität: Sei f : M -> {0,1} eine Abbildung von M nach {0,1}. Definiere dann dann eine Menge A mit a in A gdw. f(a) = 1. Dann ist A offensichtlich eine Teilmenge von M und somit Urbild von O bzgl. f. qed
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