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2^m = m^100 nach m auf auflösen?
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> 2^m = m^100 nach m auf auflösen?
 
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arimondp
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Anmeldungsdatum: 02.04.2019
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2019 - 16:46:40    Titel: 2^m = m^100 nach m auf auflösen?

Hallo, meine Mathekenntnisse sind leider nicht die besten und ich sitze zur Zeit an folgender Aufgabe:

2^m = m^100

Mein ziel ist es nach m aufzulösen, sodass ich dort am ende stehen habe:

m = irgendeine Zahl

Hoffe ihr könnt mir helfen
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8298
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2019 - 18:30:36    Titel:

Das ist leider nicht exakt möglich. Man kann dem nur mit Näherungsverfahren beikommen.

Damit bekommst du als Näherungslösung: m=1,00700444...

gruß
mike
arimondp
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Anmeldungsdatum: 02.04.2019
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 02 Apr 2019 - 22:56:11    Titel:

Ah okay, was für ein Näherungsverfahren?
Wie würde ich zu diesem Ergebnis kommen
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8298
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Apr 2019 - 10:07:02    Titel:

Meistens lässt sich durch Iteration eine Konvergenz gegen eine Lösung erzeugen. So auch hier.

Nimm als Beispiel eine Quadratische Gleichung, z. B. x²-5x+6=0. Die könntest du natürlich auf herkömmliche Weise lösen. Aber zur Demonstration machen wir das hier einmal mit einer Iteration:

Löse die Gleichung nach dem x auf, das in der Mitte steht. Dann bekommst du (x²+6)/5=x.
Jetzt rate einen geigneten Startwert für x, z. B. x=1 und setze das in die linke Seite ein: (1²+6)/5=1,4. Das ist leider nicht der Startwert 1 und daher ist 1 auch nicht die Lösung.
Aber nimm jetzt 1,4 und setze das links ein: (1,4²+6)/5=1,592.
Und so geht es weiter: Setze 1,592 ein: (1,592²+6)/5=1,7068928.
Und dann: (1,7068928²+6)/5=1,78269661.
Mit dem Taschenrechner oder Excel geht das recht zügig. Die Folge der Ergebnisse 1,4; 1,592; 1,7068928 usw. nähert sich einer Lösung der Gleichung, nämlich der 2, an. Nach 30 Schritten bist du schon bei 1,99948642 und nach 70 Schritten bei 1,99999993.

Für eine Quadratische Gleichung ist da die pq-Formel deutlich handlicher, zumal sie gleich ein exaktes Ergebnis liefert und keinen Näherungswert.

Aber bei Deiner Gleichung gibt es kein Verfahren, mit dem man eine exakte Lösung errechnen kann. Da musst du mit einem Näherungsverfahren vorlieb nehmen. Löse die Gleichung nach dem m auf der rechten Seite auf, indem aus beiden Seiten die 100. Wurzel ziehst:
oder .
Da bist du mit den meisten Startwerten sogar schon nach 3 bis 4 Schritten bei einer Näherung, die auf sieben Nachkommastellen stabil ist.

Gruß
mike
arimondp
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Anmeldungsdatum: 02.04.2019
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 03 Apr 2019 - 10:19:47    Titel:

Oh vielen Danke, das bekomme ich hin Very Happy
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