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vollständige induktion
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koloss
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Anmeldungsdatum: 10.08.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 12:17:04    Titel: vollständige induktion

moinsen allerseits,

ich hab folgende ungleichung

PI über k=1 bis n [ (2n-1)/2n ] <= 1/(wurzel(3n+1))

oder anders ausgedrückt:

1/2 * 3/4 * 5/6 ... <= 1/(wurzel(3n+1))

für alle natürliche zahlen n >= 1
die ungleichung soll mittels vollständiger induktion bewiesen werden.

ich hab mir schon etwas überlegt, bin mir aber nicht sicher ob es richtig ist und wollte en paar andere lösungsvorschläge sehen.
Mirow
Junior Member
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Junior Member


Anmeldungsdatum: 20.12.2004
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 13:54:26    Titel:

Edit.
koloss
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Anmeldungsdatum: 10.08.2005
Beiträge: 10

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 14:23:56    Titel:

doch, stimmt so.

unter der wurzel steht für n=2

3*2+1 nicht 3*3+1, was dann 0.377 >= 0.375 ergibt, und das ist wahr

ich hab folgendes gemacht, aber wie gesagt ohne gewähr vieleicht könnt ihr mir ja sagen ob ich irgendwo was falsch gemacht hab.

induktionsanfang: n=1: (1/2 >= 1/2) ist wahr

is n := n+1

PI über k=1 bis n [2n-1/2n * 2n+1/2n+2] <= 1/wurzel(3n+1) * 2n+1/2n+2

beachte: 2(n+1)-1 / 2(n+1) = 2n+1/2n+2

jetzt hab ich versucht die rechte seite so umzuformen das 1/wurzel(3n+4) bzw 1/wurzel(3(n+1)+1) heraus kommt, womit der induktionsschritt bewiesen wäre.

ich hab also unterm bruchstrich stehen 2n+2 * wurzel (3n+1)
wenn ich (2n+2) quadriere und unter die wurzel bringe, und ausmultipliziere, bekomme ich wurzel(12n³ + 28n² + 20n +4) das ist soweit fast perfekt, weil von (12n³ + 28n² + 19n +4) würde sich (2n+1)² ausklamern, aus der wurzel nemen und kürzen lassen
womit dann 1/wurzel(3n+4) übrig bliebe, also genau das was ich gesucht hatte.

im nachinein bin ich mir ziemlich sicher das es falsch ist und das es auch sonst der falsche ansatz ist. desswegen wollte ich wissen wie ihr das angehen würdet.
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