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Beweis Grenzwert
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Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 20:42:09    Titel: Beweis Grenzwert

Guten Abend!
Ich habe ein Problem mit der Aufgabe:

lim(n -> unendl.) a^n/n!=0, für alle a E |R

Das soll ich nachweisen!
Ich weiß aber irgendwie nicht wie. Ich weiß zwar, dass n! für große n schneller wächst als a^n und dass das deshalb so ist, dass der Grenzwert 0 ist, aber ich habe überhaupt keine Ahnung, wie ich das richtig aufschreiben, also mathematisch beweisen soll... Ich kann ja schlecht hinschreiben: das is so weil n! schneller wächst, oder!??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 11 Nov 2005 - 22:12:15    Titel:

Tipp: Ich würde zeigen, dass die Folge der Beträge konvergiert, weil sie eine monotone Nullfolge ist. Das reicht dann hier um die Konvergenz mit üblichen Mitteln zu zeigen, weil |a_n - 0| = |a_n| ist.
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 13:10:51    Titel:

Question Wieso bringen mich hier Beträge weiter??? Damit hab ich doch immernoch nicht gezeigt, dass n! schneller wächst?!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 13:43:33    Titel:

Du machst einen Fehler, meiner Ansicht nach, dass Du "intuitiv" zu argumentieren versuchst. Es ist zwar schön, dass Du ein Bild von der Konvergenz hast. Dieses Bild ist aber nicht gannz vollständig, wie ich vermute, denn die Funktion a^n sieht sehr ecklig für negative a's. Es gilt z.B. (-1)^n = 1 für n gerade und = 0 sonst. Daher kann man da nicht mit "schneller" argumentieren. Man muss mit "betragsmässig schneller" argumentieren. Also: Größenordnungsmässig. Und dann setzt man direkt mit irgend einem Konvergenzsatz an. Z.B. direkt mit der GW-Definition.
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 13:59:28    Titel:

Hm, achso... ja, das stimmt allerdings. ok, danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 14:17:31    Titel:

Wir können gerne gemeinsam einen Beweis erarbeiten. Poste deinen Ansatz rein, dann können Wir diskutieren. Für die GW-Bildung wäre z.B. ein legitimer Ansatz

Sei epsilon > 0
setze N = N_0
dann gilt für alle N > M
|a_n - 0| = |a_n| < (Monotonie, Vorbeweis) epsilon.

Z.B. Es fehlt nur eine Abschätzung und ein Wert für N_0. Und die sollte man in etwa so ansetzen: Sei n in lN gegeben, dann ist die Funktion |a_n| monoton und es gilt |a_n| < Abschätzung. Dann folgt automatisch, dass |a_n| < Abschärtung für alle n > N_0 aufgrund der Monotonie.

Es geht vermutlich auch mit Konvergenzsätzen schneller.


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 12 Nov 2005 - 14:26:54, insgesamt einmal bearbeitet
Ingo314
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Anmeldungsdatum: 10.07.2005
Beiträge: 522

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 14:22:10    Titel:

diese verfickte epsilon!
den gleichen kackscheiße hab ich mit dem FIbonacci Quotienten gehabt!

Evil or Very Mad Twisted Evil
Laila.
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 24

BeitragVerfasst am: 12 Nov 2005 - 14:46:31    Titel:

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