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Grenzwertaufgabe
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meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 16 Nov 2005 - 15:59:52    Titel: Grenzwertaufgabe

Hallo

In der Aufgabe gilt immer limes von n->unendl. und ∑ von k=1 bis n.
Und für lim' sowie ∑' gilt statt n (n+1).

Zitat:
Sei lim a_n = a, A_n := 1/n ∑ a_k.
zu zeigen: lim A_n = a


Ich komme jetzt beim Induktionsschluß nicht weiter. Ich will da ja den Grenzwert für n=n+1 bestimmen. Dies mache ich, indem ich diesen Grenzwert aufteile in den Grenzwert von A_n und das letzte Folgenglied für n+1.
Mein Problem besteht darin, daraus den lim A_n zu holen, da der Faktor 1/(n+1) gilt, und nicht 1/n, so wie ich es bräuchte.

lim' A_(n+1) = lim' 1/(n+1) ∑' a_k
lim' A_(n+1) = lim 1/(n+1) ∑ a_k + 1/(n+1) a_(n+1)
lim' A_(n+1) = lim 1/n ∑ a_k + 1/(n+1) a_(n+1)

1. Zeile = Induktionsschluss
2. Zeile = so sieht es nach der Aufteilung aus
3. Zeile = so sollte es aussehen, damit ich weiter komme
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 16:27:15    Titel:

Bin etwas weiter gekommen...
zuerst vergeßt das mit (n+1) wieder. Ich fang von vorne an...

lim A_n = lim (1/n ∑ a_k)
lim A_n = lim (1/n) * lim (∑ a_k)
lim A_n = 0 * lim (∑ a_k)
lim A_n = 0
????
es soll ja a rauskommen, somit ist was falsch. Aber stimmt doch alles, oder?

Ach und wie kann ich denn den Grenzwert einer Summe auswerten?
Ich hab ja in der Aufgabe als vorraussetzung lim a_n = a, irgendwie muss ich das dann wohl verwenden.
Der Grenzwert der Summe müsste doch selbst eine Summe sein, oder?
Also a_1 + a_2 + ... + a_n?? ganz schön kompliziert
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 16:49:27    Titel:

Hi,

was du geschrieben hast, ist natürlich falsch. GWS gelten nur für existierende Grenzwerte.
(Sonst wäre nach deiner Rechnung z.B. auch lim n^2/n = lim 1/n * lim n^2 =0

Überleg mal in diese Richtung:
Wenn a(n) gegen a geht, dann liegen in einer bel. kleinen Umgebung von a
fast alle Folgenglieder. Dann hast du doch sowas:

(endliche, irgendwelche FolgenGlieder + gaaaaanz viele eng bei a Folgenglieder) / Anzahl Summanden

Klarer ?

Jockel
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 17:20:10    Titel:

aha...

hmm...
also ich deute das jetzt mal so:
da lim a(n) = a ist, besteht jedes Folgenglied der Folge a(n) aus a*einem Faktor (der immer kleiner wird).

Also mein Grenzwert wäre demnach:
(Summe der Faktoren * a) / Anzahl Summanden

... Summe der Faktoren sowie Anzahl der Summanden ist unendlich.


Confused wahrscheinlich total falsch, aber was anderes fällt mir dazu jetzt nicht ein.
Aber irgendwie macht die Überlegung Sinn, denn somit gäbe es auch keinen Grenzwert für die Summe.
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2005 - 16:44:17    Titel:

Ich komm nicht drauf.

Aber die Summe darf doch keinen Grenzwert haben, denn sonst könnte ich ja mit den GWS ausrechnen, dass A_n gegen 0 konvertiert (siehe mein vorletzter Post).

Ich komm mit dieser Summe einfach nicht klar, bitte noch ein paar Tips
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