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Rationale Zahlen
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BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
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BeitragVerfasst am: 17 Nov 2005 - 22:14:50    Titel: Rationale Zahlen

Steh auf dem Schlauch.

Muss zeigen das Q in R keine G delta Menge ist. D.h. also, nach Definition, dass Q sich nicht schreiben läßt also Durchschnitt von abzählbar vielen offenen Intervallen aus R.

Habs schon mit dem Bairschen Kategoriensatz versucht aber komm nicht drauf. Kann mir wer helfen?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 18:06:33    Titel:

Ich glaube Baire ist da nicht geeignet, weil es um nirgendsdichte Mengen geht, und Intervalle sind es nicht, weil sie Invariant sind unter Abschluss/Kern-Konkatenation. Ich glaube da kann man mit einfacheren Mitteln arbeiten. Meine Überlegungen dazu wären:

Bew: Angenommen lQ hätte man als eine Schnitt von einer abzählbaren Menge von offenen Intervallen S_i bilden können. Dann wäre das Komplement lR \ lQ eine Vereinigung von Komplementen der Intervalle S_i, welche allersamt abgeschlossen und Intevalle (es gehören höchstens zwei Teile zu je einem offenen Intervall). Somit ist die Vereinigung eine abzählbare Vereinigung von Intervallen. Diese Intervalle können nur einpünktig sein, denn für ein Intervall [a,b] mit a < b gibt es ein q in lQ zwischen a und b. Somit ist q in der Vereinigung, was ein Widerspruch ist. Daher sind alle Intervalle einpünktig. Aber lR \ lQ ist überabzählbar und kann also keine abzählbare Vereinigung einpünktiger Intervalle sein. qed

Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 16:03:26    Titel:

Wie findest Du nun die Lösung. Würde mich interessieren.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:23:46    Titel:

hmm nach 10min nachdenken hört sie sich nicht schlecht an. werd weiter drüber nachdenken. danke schonmal!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:26:20    Titel:

Also ich habe ein mulmiges Gefühl bei dem Beweis. Weiß nicht warum...
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 19:32:18    Titel:

Genau. Das ist sozusagen das womit ich einen Widerspruch erzeugen will und erzeuge. Ich meine ein Widerspruchsbeweis enthält Wirdersprüche, sonst wäre die Aussage ja richtig.

Du gibst mir ja recht, dass aus

lQ = Schnitt_{i in lN} S_i

folgt

lR \ lQ = Vereinigung_{i in lN} nicht S_i.

Und nicht S_i können nur folgende Formen haben:

nicht ]-unendlich,a[ = [a,unendlich[
nicht ]a,unendlich[ = ]-unendlich,a]
nicht ]a,b[ = ]-unendlich,a] U [b,unendlich[.

Andere gibt es nicht. Und über all ist lR als Grundmenge.

Soweit sind wir uns einig?
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 19:42:00    Titel:

Zitat:
Und über all ist lR als Grundmenge


Ne ich mein die Grundmenge ist R\Q, der rest ist richtig.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 19:51:54    Titel:

Zitat:
Ne ich mein die Grundmenge ist R\Q, der rest ist richtig.


Ne. Alles ist über lR. Wir fangen mit lR an und durch das Komplementieren verändert sich die Grundmenge nicht.
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 19:55:52    Titel:

hmm werd mal drüber nachdenken. versuche gerade das gleiche mit dem cantonschen diskontinuum. wenns damit klappt ist e meisstens richtig Laughing
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 20:13:06    Titel:

Den Beweis für Cantorschen Disko. habe ich hier. Einige Betrachtungen sind einfacher zu zeigen, indem man den CD auf den topologischen Binärbaum ({0,1}^\NN mit diskreter Topologie) isomorph abbildet.
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