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folge konvergiert?
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sandra85
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 16:31:50    Titel: folge konvergiert?

Hallo!
also: Seien c<b reelle Zahlen. Nun soll man die durch a_0=c und a_1=b und
a_n:=(a_(n-1)+a_(n-2)) / 2 , n>_2 definierte Folge betrachten und entscheiden ob diese konvergiert.

weiß gar nicht wie man hier anfangen soll. habe erstmal die folge a_n aufgeschrieben,die sähe dann ja so aus:
a_n= b/2+c/2, (a_2)/2 +b/2 , (a_3)/2+(a_2)/2 , (a_4)/2+(a_3)/2, ......

naja und was kann man damit dann machen? man muss doch zeigen, dass
|a_n - a| < epsilon ist, um die konvergenz einer folge zu zeigen oder???
aber wie gehe ich dann weiter vor?
hoffe ihr könnt mir helfen...

vielen dank...
Jockelx
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Anmeldungsdatum: 24.06.2005
Beiträge: 3596

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 16:54:41    Titel: Re: folge konvergiert?

Hallo!

sandra85 hat folgendes geschrieben:
man muss doch zeigen, dass
|a_n - a| < epsilon ist, um die konvergenz einer folge zu zeigen oder???


Zum Beispiel. Oder, was hier sinnvoller ist, Monotonie + Beschränktheit
zeigen.

Jockel
sandra85
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 18:47:04    Titel:

aber wie beweist man monotonie und beschränktheit`? muss man beides beweisen, oder reciht eins von beiden?
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 19:15:44    Titel:

beides wird benötigt.

Stell dir vor die Folge steigt monoton und hat eine obere Schranke, somit muß sie auch einen Grenzwert besitzen.

Aber diesen Satz muß du dann auch noch beweisen (es sei denn, ihr habt das schon gemacht).
sandra85
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 18 Nov 2005 - 21:09:15    Titel:

mmh nicht wirklich.......wie beweist man denn hier sowas?
sandra85
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 88

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2005 - 10:09:49    Titel:

hilfe Crying or Very sad
meiner einer
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 111

BeitragVerfasst am: 19 Nov 2005 - 16:39:35    Titel:

Ich hab zwar selber größte Probleme mit solchen Aufgaben, aber ich versuche mal trotzdem etwas zu helfen. Aber verlass dich nicht darauf.

zuersteinmal schreib lieber a_0 < a_1 anstatt c < b, lässt sich dann einfacher rechnen.
Rechne mal die Folgenglieder bis n = 7 aus, dann bekommste folgende Zeile raus:
a_0 < a_2 < a_4 < a_6 < a_7 < a_5 < a_3 < a_1

1. sieht man, dass a_0 und a_1 die obere und untere Schranke sind.
2. sieht man, dass jedes Folgeglied zwischen seinem Vorgänger und dessen Vorgänger liegt.

Du mußt jetzt wahrscheinlich den zweiten Satz mit Epsilon beweisen. Und dadurch wird gleichzeitig (da dadurch ja kein Folgeglied über a_1 bzw. unter a_0 kommt) der erste Satz bewiesen.

Und den Beweis mit der Monotonie kannst du vergessen, da die Folge gar nicht monoton ist.

-------------------------
Ich erwähne jetzt nocheinmal, dass ich viel zu schlecht bin, und du mir deshalb kein Wort glauben solltest, bis einer, der sich hier auskennt mir zustimmt, oder mich berichtigt.
Und genau darum bitte ich jetzt die Leute, die sich damit auskennen...
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 00:21:04    Titel:

So kommt man vielleicht an das Ziel:

Eine Zahlenstrahl zeichnen, dort c und b eintragen als Striche. Der Strich c bekommt die Nummer 0, b die Nummer 1, (b+c)/2 die Nummer 2, das nächste Folgenglied die Nummer 3, usw: Das neue Folgenglied ist der Mittelwert der letzten beiden Folgenglieder.

Dabei schreibt man sich auf wieviel man von jeweils dazu addiert. Am Anfang ist man bei c. Dann kommt (c-b) dazu. Als nächstes (c-b)/2.

So sieht man mehr...
Wink
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