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körper
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oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:16:09    Titel: körper

kann mir bitte bitte jemand helfen,
komme mit der aufgabe garnicht klar.Ich wäre für lösungseinsätze oder komplete lösungen sehr dankbar

habe folgende aufgabe zu lösen:

sei (K,+.*) ein körper mit vier elementen : 0,1,a,b wobei o das neutrale element für die addition und 1 das neutrale element für multiplikation ist.
a) zeigen sie, dass a^2=b und ab=1 (hinweis: benutzen sie dass (a,1,b) eine gruppe ist.
b) Zeigen sie dass, a+1=b (warum sind a+1=1 oder a+1=a nicht möglich? falls a+1=0 , benutzen sie die distributivität,um ein widerspruch zu finden.
c)zeigen sie dass 1+1=0 .deswegen ist der korper F2 mit 2 elementen eine teilmenge von K und K hat charakteristik 2
d) bestimmen sie die verknüpfungstafel für gruppe (K,+)
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:20:41    Titel:

Machen wir mal langsam. a) Probiere mal alle möglichen Beziehungen zwischen a,b,1 und a^(-1), b^(-1) aufzuschreiben. Dadurch dürften sich die Sachen klären. Poste deine Überlegungen hier rein.
oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 33
Wohnort: paderbprn

BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:29:52    Titel:

etwa so ?Embarassed
a*a^-1=1
1*a^-1=a^-1
b*b^-1=1
1*b^-1=b^-1
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:39:27    Titel:

Fast. Jetzt ist ja (1,a,b) eine Gruppe und a^(-1) muss ja irgendwas 1,a oder b sein. Manches kann sein, manches kann nicht sein. Z.B. kann a^(-1) nicht 1 sein, denn a^(-1) = 1 => a = a * 1 = a * a^(-1) = 1 und wir wollen ja, dass alles verschieden ist. Probiere mal, was passiert, wenn a^(-1) = a ist und a^(-1) = b ist. Der Fall mit b ist ja symmetrisch.
oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 33
Wohnort: paderbprn

BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:41:58    Titel:

keine ahnung es sollte eigentlich gelten

wenn ab=1 dann müsste ja a=b^-1 oder b=a^-1sein



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oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 33
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:45:04    Titel:

wenn a^-1= b dann folgt a*b=a*a^-1=1
oder b^-1=a dann folgt ab=b^-1*b=1



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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 17:55:09    Titel:

Genau. D.h.

Fall 1: a^(-1) = b => ab = aa^(-1) = 1
Fall 2: a^(-1) = a => b^(-1) = b, denn sonst (b^(-1) = a) wäre a = a b^(-1) b = a a b = a a^(-1) b = b. => Angenommen a b = a. Dann gilt 1 = a^(-1) a = a^(-1) a b = b. Der Fall mit a b = b geht analog.

Also ist in beiden Fällen gilt a b = 1.
oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 33
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 18:02:30    Titel:

okey das habe ich verstanden danke vielmals, und wie zeige ich dass a^2=b ist?
a*a=b?
etwa so:
a*a=a^-1=b
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 18:38:33    Titel:

Na so einfach geht das nicht. Ich denke wieder ne Fallunterscheidung.
oluschka
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 33
Wohnort: paderbprn

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 12:26:30    Titel:

soll ich hier zeigen aa=a , daraus folgt a ist neutral und das ist ein widerspruch zu eindeutigkeit des neutralen elements
dann aa=1 dann muss ist a=a^-1 dann ist a das inverse zu sich selbst, und das gilt ja nur bei 1, also ist a=1 und dies ist ein widerspruch?
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