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Lineare Algebra (Gleichungssystem)
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ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 20 Nov 2005 - 19:56:44    Titel: Lineare Algebra (Gleichungssystem)

Gegeben ist das Gleichungssystem

a + 2b - 3c + d + e = 2
2a + 4b - 8c + 6d = 4
3a + 6b - 8c + d + 4e = 6
-a - 2b + 5c - 5d + e = -2

Man ermittle die allgemeine Lösung.


Wie geht man hier vor? Mit Hilfe der Gauss-Elimination kommen in den Ersten beiden Spalten nur Nullen heraus (abgesehen von Zeile 1, die unverändert bleibt) und man muss abbrechen.
t0m84
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 10:39:01    Titel:

Das Gleichungssystem is nicht eindeutig lösbar da du mehr variable hast als gleichungen!

Also ich komm auf die Lösung:

x=(2,0,0,0,0)+s(-2,1,0,0,0)+t(5,0,2,1,0)+u(-4,0,-1,0,1)
ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 21:33:51    Titel:

jetz wärs noch ganz fein, wenn du mir sagst wie du auf diese lösung kommst.

hab nämlich auch eine lösung gefunden:

x= (2 0 0 0 0) + j * (-2 1 0 0 0) + k * (-3 0 0 1 2)
ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 20:48:29    Titel:

also die lösung von t0m84 stimmt zu 100%
aber wie kommt man auf diese.


weiss denn niemand weiter?
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 20:51:49    Titel:

Du kannst das Gleichungssaystem als lineare Abbildung A von R^5->R^4 auffasen. Die allgemeine Lösung ist dann ein Element aus A/Ker(A).
ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 21:06:57    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
Du kannst das Gleichungssaystem als lineare Abbildung A von R^5->R^4 auffasen. Die allgemeine Lösung ist dann ein Element aus A/Ker(A).


Also um ehrlich zu sein hilft mir das nicht viel weiter. könntest du das system denn nicht schritt für schritt lösen.

Mein Ansatz war ja folgender:
Gleichungssystem auf Zeilenstufenform bringen.

/ 1 2 -3 1 1 | 2 \
| 0 0 -2 4 -2| 0 |
| 0 0 1 -2 1 | 0 |
\ 0 0 -2 -4 2| 0 /

Aus der untersten Zeile erhält man dann ja

-2c -4d + 2e = 0 -> e = c + 2d

aus der dritten Zeile c -2d + c + 2d (e substituiert mit c + 2d) = 0 -> c=0 -> e=2d

Aus der Zweiten Zeile erhält man:

4d - 4d= 0 -> d=k -> b = j -> a = 2 - 2j -3k
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 21:10:56    Titel:

Diese Aussage bedeutet, dass du das homogene GLS lösen musst und dann eine spezielle Lösung des inhomogenen Systems dazu addieren.

Schreib mal deine Zeilenstufenform.

Diese Matrix

/1 2 -3 1 1 | 2 \
| 0 0 -2 4 -2| 0 |
| 0 0 1 -2 1 | 0 |
\ 0 0 -2 -4 2| 0 /

hat ja noch keine Zeilenstufenform.
ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 21:22:33    Titel:

aber jetzt Wink

/1 2 -3 1 1 | 2 \
| 0 0 1 -2 1 | 0 |
| 0 0 0 1 -4/8 | 0 |
\ 0 0 0 0 0| 0 /

....mehr oder weniger zumindest...
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 21:33:05    Titel:

Du kannst aus dieser Matrix schonmal den Rang ablesen und darauf Rückschlüsse über die Lösungsmenge ziehen.

Leider habe ich heute keine Zeit mehr, ich werde mich morgen weiter damit befassen.
ppucher
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Anmeldungsdatum: 14.10.2005
Beiträge: 16

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 21:37:01    Titel:

tja.....

rang (A) = 3 ist gleich rang (A,b) = 3


d.h. es gibt unendlich viele Lösungen. das ist mir schon klar.

nur wie kommt man auf die lsg von tom weiter oben?
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