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Rekursionsgleichung zu geschlossener Formel
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a_w
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 13:41:24    Titel: Rekursionsgleichung zu geschlossener Formel

Ich habe eine Rekursionsformel gegeben und soll nun dazu die geschlossene Formel finden (bzw. zeigen, daß die 2. Formel die geschlossene Gleichung ist).
Ich habe für P(Q=0) und P(Q=1) gezeigt, daß beide Formeln die gleiche Lösung ergeben.
Code:
(1-p)*P(Q=k+1)=P(Q=k)-p*P(Q=k-1)

Code:
P(Q=k)=(p/(1-p))^k*(1-2p)/(1-p)

Das Problem besteht in den Übergang von der Rekursionsformel zu der geschlossenen Form.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 15:35:14    Titel:

Um dir zu helfen muss ich dich einige Fragen.

1. Um welche formen von Rekursionsgleichung handelt es sich (linear,...)?
2. Wie ist dein Wissenstand in der Mathematik?
a_w
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:15:28    Titel:

p ist eine Konstante.
Es gilt:
Code:
P(Q=0)=(1-2p)/(1-p)
P(Q=1)=((1-2p)/(1-p)) * p/(1-p)

zu zeigen ist dann der Übergang von
Code:
(1-p)*P(Q=k+1)=P(Q=k)-p*P(Q=k-1), k>=1
zu
Code:
P(Q=k)=(p/(1-p))^k*(1-2p)/(1-p), k>=0

Der Fall P(Q=0) und P(Q=1) ist schon gezeigt.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 18:18:59    Titel:

Das ist eine lineare Rekursionsgleichung.

Kannst du denn etwas mit Matrizen anfangen?
a_w
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 09:02:08    Titel:

Mit Matrizen habe eigentlich keine Probleme - ich hatte eine 2 semestrige Veranstaltung in Analysis und Lineare Algebra.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 12:01:16    Titel:

Das klingt gut.

Du kannst eine lineare Rekursionsgleichung auch schreiben, als

v(k+1)=A*v(k), wobei A eine Matrix ist.

z.B. für a(k+1)=3*a(k)-a(k-1) sieht der Vektor v(k) so aus

v(k)=(a(k) a(k-1) ) ^t

und die Matrix

A=
3 -1
1 0

Diese Matrix kannst du dann in der Form T*J*T^-1 schreiben, wobei J Jordansche Normalform hat (In den meisten Fällen geht auch Diagonalform). Dann kannst du
v(n)=a^n*v(0) berchnen und erhälst so eine explizite Form.
a_w
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Anmeldungsdatum: 18.11.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 15:48:49    Titel:

Danke.
Ich habe das Problem gelöst - und wieder was dazugelernt.
Ich hatte in einen Übungsbuch zur Kombinatorik ein Lösungsschema für Rekursionsgleichungen gefunden. Es wurde die erzeugende Funktion zur Lösung genutzt - das ausrechnen der einzelnen Umbekannten ganz schön stressig - , am Ende stimmte die berechnete Lösung mit dem was ich zeigen sollte, überein.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 17:52:38    Titel:

Ja dies ist die Potenzansatzmethode, mit der Handhabung ist diese natürlich leichter, aber mathematisch nicht ganz korrekt (warum es funktioniert).
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