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Zum Beweisen Zahlen einsetzen?
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Fuzzel
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Anmeldungsdatum: 17.04.2005
Beiträge: 397

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:02:51    Titel: Zum Beweisen Zahlen einsetzen?

Hallo!
Wir sollen z.z. viel beweisen. Kann ich einen Beweis durchführen indem ich für a,b,c usw einfach Zahlen einsetzt?

Also wenn ich z.B. beweisen soll, dass a*b = b*a ist (jetzt mal als ganz leichtes Beispiel) kann ich einfach Zahlen einsetzen und dies als Beweis nutzen?

LG Sandra
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:03:30    Titel:

Nein - Zahlen einsetzen darf man nur um zu beweisen, dass die Gleichung oder die Annahme nicht stimmt.

Als Beweis gilt Zahlen einsetzen nur, wenn man *alle* möglichen Zahlen einsetzt.
Fuzzel
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Anmeldungsdatum: 17.04.2005
Beiträge: 397

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:13:48    Titel:

Aber zum Widerlegen einer Annahme darf ich Zahlen einsetzen oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:14:46    Titel:

Ein Beweis in der modernen Mathematik ist ein Wechselspiel zwischen zwei imaginären Personen: einem Prüfer und einem Prüfling. Der Prüfling muss den Prüfer von der Richtigkeit der zu beweisenden Aussage überzeugen. Bei einer universellen Aussage, "für alle x", darf der Prüfer sich ein zulässiges x aussuchen. Bei einer existenziellen Aussage, "existert ein x" muss der Prüfling ein x angeben. Wenn der Beweis alle möglichen Abfolgen der Prüfer-Prüfling Diskussionen abdeckt, sodass der Prüfer nicht in der Lage ist, die Aussagen vom Prüfling zu widerlegen, so gilt der Beweis als richtig.

Zu deiner Frage. Wenn Du für einen Beweis einer universellen Aussage zahlen angibst, so ist das nur eine mögliche Form der Prüfer-Prüfling Diskussion. Neben dieser können auch andere Entfaltungen existieren, in denen der Prüfer den Prüfling widerlegt. Z.B.

Behauptung: Die Zahl 10 ist durch jede natürliche Zahl kleiner 10 ohne Rest teilbar.

Dein Beweis: 2 ist durch 10 teilbar. Also gilt das.

Zugehörige Diskussion:

Prüfer: Gibt die Zahl 2 an
Prüfling: 2*5 = 10, also Teilbar
Prüfer: Warten sie bitte draußen.

Es gibt aber eine andere Diskussion:

Prüfer: Gibt die Zahl 3 an
Prüfling: ... ist nicht in der Lage eine zahl anzugeben mit 3*k = 10
Prüfer: Wir sehen uns im nächsten Semester

Also ist die Aussage falsch.
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:15:29    Titel:

Jepp.. wenn ich zum Beispiel behaupten würde das

a+b = a+3 gilt, kann ich das z.B. widerlegen, indem ich a=b=1 setze
trh
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Anmeldungsdatum: 04.09.2005
Beiträge: 570

BeitragVerfasst am: 21 Nov 2005 - 22:19:03    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Bei einer existenziellen Aussage, "existert ein x" muss der Prüfling ein x angeben.

Stimmt, bei Existenzquantoren darf/kann man teilweise auch Zahlen als Beweis angeben - die hab ich ganz unterschlagen.

Prinzipiell muss man einfach immer genau die Aussage zeigen, oder widerlegen, wobei man es wenn man es zeigen will genau die Aussage zeigen muss, und die Aussage soll meistens gültig sein "für alle x Element M".
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