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Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge
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MacRyan
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Anmeldungsdatum: 25.10.2005
Beiträge: 25

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 10:58:47    Titel: Jede Folge besitzt eine monotone Teilfolge

Hallo,

die Aufgabe steht bereits im Titel.

Ich soll zeigen, dass jede Folge eine monotone Teilfolge hat.

Kann mir jemand sagen, wie ich da anfangen muss?

MfG
MacRyan
brabe
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Anmeldungsdatum: 26.10.2005
Beiträge: 2807
Wohnort: Lehrerzimmer

BeitragVerfasst am: 22 Nov 2005 - 11:10:22    Titel:

Geschrieben von Tomate - Folgen/Teilfolgen
Es sei a(n) eine Folge reeller Zahlen. Zeige, dass a(n) eine monoton fallende und einen monoton wachsende Teilfolge besitzt.

Geschrieben von Deakandy - RE: Folgen/Teilfolgen
Ist das die gesamte Aufgabe?

Geschrieben von Irrlicht -
Die Aufgabe ist so falsch gestellt, wie man an der Folge a(n) = n sieht.
Richtig ist dagegen folgende Aussage:

Es sei a(n) eine Folge reeller Zahlen. Dann besitzt a(n) eine monoton fallende oder eine monoton wachsende Teilfolge.

@Tomate: Ist es das was du zeigen sollst?

Geschrieben von WebFritzi -
Wenn man auch endliche Folgen akzeptiert, dann geht's auch mit und.

Geschrieben von Ben Sisko -
Endliche Folgen? Und dann hast du als Teilfolge eine Folge von einem Element und die erfüllt ja gleich beides...

Oder meinst du Folgen mit endlichem Wertebereich?

Also ich verstehe unter einer Folge eine Abbildung von N nach R.

Geschrieben von WebFritzi -
Ach, vergiss es. Ich meinte abbrechende Folgen. Aber die sind ja eh blöde. Wink

Geschrieben von Ben Sisko -
Was heisst denn abbrechend? Dass die Restfolge konstant ist?

War etwas überrascht von endlichen Folgen zu lesen Wink

Geschrieben von WebFritzi -
OK, eine endliche Folge in R ist (für mich) eine Abbildung einer endlichen Teilmange von N in die reellen Zahlen.

Geschrieben von Ben Sisko -
Aha, OK. Das Konzept war mir nicht so geläufig Wink Aber dann ist die (notwendigerweise auch endliche) Teilfolge ja, auf jeden Fall in diesem Kontext, nicht wirklich interessant, siehe meinen 1. Post.

Gruß vom Ben

Geschrieben von WebFritzi -
Natürlich nicht.

Geschrieben von Leopold -
Mensch Leute! In dem Kontext ist doch klar, was mit Folge gemeint ist. Dazu fällt mir nur noch ein: "Ich hätte gerne eine Pizza Funghi, aber bitte ohne Pilze!"

Geschrieben von tomate -
ja, das ist alles qas ich zeigen soll

Geschrieben von SirJective -
Diese monotone Teilfolge kann man nicht durch Betrachten der ersten endlich vielen Folgeglieder bestimmen, man braucht also ein "Orakel", das einem bestimmte Eigenschaften der Folge verrät, z.B. ob es unendlich viele Folgeglieder gibt, die größer als eine vorgegebene Zahl sind, oder ob die Menge der der größeren Folgeglieder ein kleinstes Element hat. Mit diesen beiden "Orakelfragen" konnte ich ein Verfahren angeben, das eine monotone Teilfolge liefert.
Ich überleg mir das noch mal...

Geschrieben von Philipp-ER -
Moin.
Der Beweis läuft zum Beispiel über eine Fallunterscheidung.
Wir nennen m eine Gipfelstelle der Folge (a_n), wenn für n>m stets a_n

Mache jetzt eine Fallunterscheidung:
Hat eine Folge unendlich viele Gipfelstellen, so ist die Aussage trivial.

Überlege dir nun, was es bedeutet, wenn eine Folge nur endlich viele Gipfelstellen hat (Tipp: es gibt dann eine Zahl n1, die größer ist als alle Gipfelstellen) und wie sich hieraus eine monton wachsende Teilfolge konstruieren lässt.

Geschrieben von Ben Sisko -
Zitat:
Original von Leopold
Mensch Leute! In dem Kontext ist doch klar, was mit Folge gemeint ist. Dazu fällt mir nur noch ein: "Ich hätte gerne eine Pizza Funghi, aber bitte ohne Pilze!"


Na eben deswegen hat es mich ja so erstaunt.

Geschrieben von SirJective -
Gute Idee, Philipp!

Darf ich auch meine Lösungsidee posten?

Wir unterscheiden mehrere Fälle:
1. Ist (a_n) nach oben unbeschränkt, dann gibt es eine (sogar streng) monoton wachsende Teilfolge.
2. Ist (a_n) nach unten unbeschränkt, dann gibt es eine (sogar streng) monoton fallende Teilfolge.
3. Ist (a_n) beschränkt, dann hat sie einen Häufungswert a.
3a. Gibt es unendlich viele a_n, die kleiner sind als a, dann gibt es eine (sogar streng) wachsende Teilfolge (die von unten gegen a konvergiert).
3b. Gibt es unendlich viele a_n, die größer sind als a, dann gibt es eine (sogar streng) fallende Teilfolge (die von oben gegen a konvergiert).
3c. Gibt es unendlich viele a_n, die gleich a sind, dann gibt es eine konstante (also sowohl monoton wachsende als auch fallende) Teilfolge.

Die Begründungen der Fälle 1,2,3a,3b kann man auf Begründungen der Fälle 1 und 3a reduzieren. Im Fall 1 existiert die Teilfolge, weil für jede Schranke a_n ein a_m existiert mit m>n, das größer ist als a_n. Im Fall 3a existiert sie, weil für jede Schranke a_n < a ein a_m existiert mit m > n, so dass a_n < a_m < a ist.

Gruss,
SirJective

Geschrieben von WebFritzi -
@Philipp-ER: Viel zu schwierig! Ist die Folge [mimetex](a_n)[/mimetex] unbeschränkt, dann ist die Behauptung klar, denn dann gibt es eine Teilfolge [mimetex](a_n')[/mimetex], so dass [mimetex](|a_n'|)[/mimetex] monoton steigend ist. Die Folge [mimetex](a_n')[/mimetex] besitzt unendlich viele positive Werte oder unendlich viele negative Werte. Also gibt es eine Teilfolge [mimetex](a_n'')[/mimetex] von [mimetex](a_n')[/mimetex] mit nur positiven oder nur negativen Werten. Da [mimetex](|a_n'|)[/mimetex] monoton steigend war, ist also [mimetex](a_n'')[/mimetex] monoton steigend oder fallend.
Ist die Folge beschränkt, dann gibt es eine konvergente Teilfolge [mimetex](a_n')[/mimetex] (Satz von Bolzano-Weierstraß). Sei a der Grenzwert. Es gibt nun entweder unendlich viele Werte [mimetex]a_n'[/mimetex] mit [mimetex]a_n' \geq a [/mimetex] oder unendlich viele Werte [mimetex]a_n'[/mimetex] mit [mimetex]a_n' \leq a[/mimetex]. Es gibt also eine Teilfolge [mimetex](a_n'')[/mimetex] von [mimetex](a_n')[/mimetex], die nur von einer Seite gegen a konvergiert. Die Konstruktion einer monotonen Teilfolge [mimetex](a_n''')[/mimetex] von [mimetex](a_n'')[/mimetex] ist dann trivial.

Geschrieben von Philipp-ER -
@WebFritzi: Naja, ich denke, man kann sich darüber streiten, welcher Weg einfacher ist. Ich kenne es so, dass man mit eben diesem Satz das Auswahlprinzip von Bolzano-Weierstraß beweist, deshalb wird jenes in dem mir bekannten Beweis auch nicht verwendet.

Geschrieben von WebFritzi -
@SirJective: *lol* Gleiche Zeit - gleiche Idee. :dance:

Geschrieben von SirJective -
Wir haben die Existenz eines Häufungswertes einer beschränkten Folge durch "Löwenjagd" bewiesen.

Dass es dann eine Teilfolge gibt, die gegen den Häufungswert konvergiert, ist leicht zu zeigen.

@WebFritzi: Ja, gleiche Idee Smile

Geschrieben von velicia -
Hallo!

Nun habe ich die selbe Aufgabe, muss aber erst zeigen, dass es für konvergente Folgen gilt. Wie gehe ich da am besten vor?

Gruß, velicia

google brachte das
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