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ana (Polynome-Nullstellen-Linearfaktoren)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> ana (Polynome-Nullstellen-Linearfaktoren)
 
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 17:16:59    Titel:

Zitat:
es ist gar nicht nötig den allgemeinen Fall zu betrachten, da p(x) gegeben ist


Mir geht es nicht wirklich um die Lösung der Aufgabe oben. Ich will einerseits, dass Leute, die später hier reinschauen, das auch aus "Vogelperspektive" mal sehen. Andererseits wollte ich euren Streit um "viele Polynome, bei denen die Nullstelle kein Teiler des konstanten Anteils ist" beheben, indem ich den allerallgemeinsten Fall für lQ angebe. Schlägt dieser Satz nämlich nicht ein, so gibt es keine Nullstellen über lQ und man muss mit anderen Mitteln arbeiten.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 18:02:12    Titel:

Bumble hat folgendes geschrieben:
Huhu,

zu miriam84: selbstverständlich ist 0,5*4 nicht 6 sondern 2. Das Polynom f(x) das ich angegeben habe hat aber drei Nullstellen 1/2, 4 und 3. 0,5*4*3 = 6



upps hab mich vertippt. egal

und langsam zweifele ich wirklich an meiner intelligenz denn ich kann keinen eurer beiträge nachvollziehen...
Bumble
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Anmeldungsdatum: 17.11.2004
Beiträge: 48
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 19:05:41    Titel:

Ok ich versuchs nochmal mit Lösungsweg

p(x) = x^4 – 20x³ + 126x² -196x – 343
α ist ganzzahlige Nullstelle und es existiert eine Zerlegung der Form (x-d)*(x-b)*(x-c)*(x-α)

so nun Polynomdivision also p(x) / (x-α)
x^4 – 20x³ + 126x² -196x – 343 / (x-α) = x³
-x^4 + αx³

(α-20)x³ + 126x² -196x – 343 / (x-α) = (α-20)x²
-( α-20)x³) + (α²-20α)x²

(α²-20α + 126)x² -196x – 343 / (x-α) = (α²-20α + 126)x
-(α²-20α + 126)x² + (α³-20α² + 126α)x

(α³-20α² + 126α – 196)x -343 / (x-α) = (α³-20α² + 126α – 196)
-(α³-20α² + 126α – 196)x + α (α³-20α² + 126α – 196)

0

Hieraus folgt, dass α (α³-20α² + 126α – 196) = 343 , da es ansonsten einen Rest gebe den es aber nicht gibt da α eine Nullstelle von p(x) ist.
Da α ganzzahlig und (α³-20α² + 126α – 196) ganzzahlig muss α ein Teiler von 343 sein

grüssle Bumble
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2005 - 17:52:08    Titel:

ok danke

weiterer punkt:

p(x)=x^7-x^5+9x^4-5x^3-2x^2-5x+7
q(x)=x^3-x^2-x+1

a) dividiere p durch q mit rest -> erledigt
b) bestimme ein polynom p0(x)=x^7+a_6*x^6+...+a_1*x+1, so dass alle a_i ungleich 0 sind und bei der division von p0 durch q kein rest bleibt

kann ich dazu q(x) einfach mit x^4+ax^3+bx^2+cx+1 multiplizieren? dann käme ein polynom mit den bedingungen heraus das 100% durch q ohne rest teilbar ist oder nicht?

weil ansonsten weiß ich nicht wie ich auf das polynom p0 kommen soll....
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 12:08:39    Titel:

Bumble hat folgendes geschrieben:
Ok ich versuchs nochmal mit Lösungsweg

(α³-20α² + 126α – 196)x -343 / (x-α) = (α³-20α² + 126α – 196)
-(α³-20α² + 126α – 196)x + α (α³-20α² + 126α – 196)

0

Hieraus folgt, dass α (α³-20α² + 126α – 196) = 343 , da es ansonsten einen Rest gebe den es aber nicht gibt da α eine Nullstelle von p(x) ist.
Da α ganzzahlig und (α³-20α² + 126α – 196) ganzzahlig muss α ein Teiler von 343 sein

grüssle Bumble


warum folgt daraus, dass es keinen rest gibt? und warum kann man alpha(alpha^3.....) gleich 343 setzen???
an sich verstehe ich dass alpha vor der klammer steht weil ganzzahlig
aber wenn ich die aufgabe hinterher vorrechnen muss wüsste ich nicht wie man von dem letzten schritt zur lösung kommt
Bumble
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Anmeldungsdatum: 17.11.2004
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BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 18:31:02    Titel:

Grundsätzlich gilt hat man eine Funktion f(x) und eine Nullstelle a, so ist f(x) ohne Rest durch (x-a) teilbar. Man kann sich dass in deinem Fall auch sehr einfach klar machen setzt man für x alpha (dies ist nach Vorraussetzung eine Nullstelle) ein so erhält man:
α^4-20α³ + 126α² – 196α - 343 = 0
α^4-20α³ + 126α² – 196α = 343
α (α³-20α² + 126α – 196) = 343 (genau dies habe ich gefolgert)

danach habe ich nur noch gefolgert, dass α ein Teiler von 343 ist, denn
α ist nach Voraussetzung ganzzahlig, also sind α³,α²,α ganzzahlig diese werden nur mit ganzen Zahlen malgenommen, also sind α³, -20α² und 126α ganzzahlig und da -196 auch eine ganze Zahl und die Addition von ganzen Zahlen wieder eine ganze Zahl ergibt, ist (α³-20α² + 126α – 196) eine ganze Zahl. Also folgt aus:
α (α³-20α² + 126α – 196) = 343
α³-20α² + 126α – 196 = 343/α
dass α ein Teiler von 343 ist, da 343/α eine ganze Zahl ergibt.

ich hoffe, dass du es nun verstehst. Noch ausführlicher kann ich es wirklich nicht erklären.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 18:36:18    Titel:

wie gesagt, an sich hab ich das schon verstanden
aber ich brauchte eben eine "mathematische" formulierung warum man die eine zeile =343 setzen kann

danke danke
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 18:45:17    Titel:

Meine Güte.
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
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BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 19:13:31    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Meine Güte.


wieso?? was ist los?
Bumble
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Anmeldungsdatum: 17.11.2004
Beiträge: 48
Wohnort: Tübingen

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 19:28:57    Titel:

Also wenigstens dies solltest du selber zur Lösung dieser Aufgabe beisteuern.
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