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Rätsel: von den ersten 200 Zahlen werden 101 ausgewählt...
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Leonie1305
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Anmeldungsdatum: 19.11.2005
Beiträge: 13

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 11:04:46    Titel: Rätsel: von den ersten 200 Zahlen werden 101 ausgewählt...

Brauch unbedingt Hilfe bei folgendem Problem:

Von den ersten 200 natürlichen Zahlen werden 101 beliebig ausgewählt. Beweisen Sie, dass es unter den ausgewählten Zahlen stets ein Paar gibt, so dass die eine durch die andere Zahl teilbar ist.
Bleibt die Aufgabe auch dann richtig, wenn man 101 durch 100 ersetzt?


Question Shocked
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:09:08    Titel:

Zeige, dass es eine Zahl geben muss, so dass auch ihr doppeltes unter den 101 Zahlen ist. (Schubfachprinzip)
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:14:54    Titel:

Wenn ich 101 Zahlen von der ersten 200 der natürlichen Zahlen auswähle, so gibt es mindestens ein a aus den 101 Zahlen, so das gilt a < 100
Wenn es nur ein a gibt, so ist 2*a < 200 und ein paar ist gefunden.

Wenn es nun aus den 101 n Zahlen < 100 gibt und somit 101 - n > 100, so gibt es entweder unter diesen n Zahlen schon ein solches Paar, oder es existieren n verschiedene Vielfache (eins von jeder Zahl) die >100 und <200 sind. Damit hätten wir 101 Zahlen (101 - n und die n Vielfachen) die >100 und < 200 sind, daraus folgt eine Zahl ist doppelt, also ein solches Paar.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:20:44    Titel:

take hat folgendes geschrieben:
Wenn ich 101 Zahlen von der ersten 200 der natürlichen Zahlen auswähle, so gibt es mindestens ein a aus den 101 Zahlen, so das gilt a < 100
Wenn es nur ein a gibt, so ist 2*a < 200 und ein paar ist gefunden.


2*a muss nicht unbedingt in dieser Menge sein ich kann ja auch 2*a durch z.B. 37 ersetzen.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:24:29    Titel:

Gauss hat folgendes geschrieben:
2*a muss nicht unbedingt in dieser Menge sein ich kann ja
auch 2*a durch z.B. 37 ersetzen.

Du hast recht, allerdings gib es ein Vielfaches von a, dass <100 und <200 ist.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:27:24    Titel:

Ja ist richtig, aber du hast dies konstruktiv bewiesen, ich glaube nicht das du dies so einfach ist, wenn überhaupt das Möglich ist.
Du musst dies inirekt beweisen, fängt also so an:

Angenommen es gibt eine 101-Elementige Teilmenge, so dass ...
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 12:32:28    Titel:

Ich bin einfache von dem schlechtesten Fall ausgegangen (womit die 2. Frage beantwortet wäre), nämlich das ich 100 Zahlen > 100 habe und damit keine ein Vielfaches einer anderen Zahl >100 und <200 sein kann und bin dann Schrittweise zum einfachsten Fall übergegangen, nämlich, dass ich 100 Zahlen < 100 habe und damit eine große Menge solcher Paare.
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