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Problem mit Gruppen und Bijektionen
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DonMikone
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 22:03:02    Titel: Problem mit Gruppen und Bijektionen

Hallo.

Ich scheitere kläglich an folgender Aufgabe:

Zitat:
Beweisen Sie:
Wenn es eine Bijektion f: M -> N gibt, dann sind die Gruppen SM und SN der Bijektionen von M nach M beziehungsweise N nach N isomorph.


Also, soweit ich der Aufgabenstellung entnehmen kann, handelt es sich bei SM und SM jeweils um die Gruppe der Bijektionen von M nach M und N nach N (Identitäten?? Weiter weiß ich nicht. Was soll isomorph sein?? Ich dachte immer, dass nur Abbildungen von einer Gruppe in eine andere homomorph genannt werden (wenn bestimmte Kriterien erfüllt sind), wie können denn Gruppen isomorph sein?

Kann vielleicht einer helfen??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 22:21:53    Titel:

Du hast sehr viele Fragen. Ich verweise mal auf Definitionen der Begriffe "isomorph" und "homomorph". Ansonsten geht es um eine im Wesentlichen (im Endlichen triviale) Aussage:

Wenn zwei Mengen gleichmächtig sind (also im Endlichen mehr oder weniger gleich {0,....,n}), dann sind auch die bijektiven Abbildungen auf sich selbst natürlich gleich.

Im Unendlichen muss man da ein wenig rummachen. Idee ist aber gleich.
DonMikone
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 22:37:17    Titel:

Hallo.

Ja, homomorphismus ist ja nur der Überbegriff, aber irgendwie fehlt mir da noch das Verständnis. Wie ist denn die Gruppe SM, bzw. SN aufgebaut, was enthält sie? Ist es richtig, dass die Elemente der Gruppe (z.B. SM) Bijektionen
sind? Wenn ja, gibt es ja endlos viele Elemente in der Gruppe (Bijektionen von M->M können ja belibig sein, oder etwa nicht?). Aber ich sehe noch nicht wirklich eine Verknüpfung zwischen SM und SN.

Kannst du das evtl. noch etwas näher erläutern? Mir fehlt da die Glühbirne über'm Kopf.

Vielen Dank!
DonMikone
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 24 Nov 2005 - 23:22:55    Titel:

Sind mit Bijektionen von M -> M eigentlich auch jene gemeint, die von A -> A für A Teilmenge M abbilden?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2005 - 11:22:19    Titel:

Zitat:
Wie ist denn die Gruppe SM, bzw. SN aufgebaut, was enthält sie?


Abbildungen als Trägermenge. Identität als neutrales Element und Funktionenkonkatenation "o" als Verknüpfung.

[/quote]Ist es richtig, dass die Elemente der Gruppe (z.B. SM) Bijektionen sind?[/quote]

Ja. Ist es Smile

Zitat:
Wenn ja, gibt es ja endlos viele Elemente in der Gruppe (Bijektionen von M->M können ja belibig sein, oder etwa nicht?).


Ja. Bei unendlichen Mengen gibt es entsprechen viele davon, weil man von der Identität ausgehend, Elemente vertauschen kann. Wenn man sich zunächst auf eine abzählbare Teilmenge beschränkt, so bekommt man mindestens abzählbar viele Bijektionen mit dieser Methode. Natürlich sind bei überabzählbaren Mengen auch überabzählbar viele Bijektionen vorhanden.

Zitat:
Aber ich sehe noch nicht wirklich eine Verknüpfung zwischen SM und SN.


Das ist die zentrale Frage hier. Aber die ist nicht schwer. Denke an folgendes: Gleichmächtigkeit heißt, dass es eine bijektive Abbildung gibt die M auf N abbildet, richtig?

Zitat:
Kannst du das evtl. noch etwas näher erläutern? Mir fehlt da die Glühbirne über'm Kopf


Ich mache das mal im Endlichen (Aufgabe verlangt wesentlich mehr) Denke an folgendes: Gleichmächtigkeit heißt, dass es eine bijektive Abbildung gibt die M auf N abbildet, richtig? Z.B.

N = {1,2,3}
M = {6,7,8}
Bijektion f(1) = 8, f(2) = 7, f(3) = 6.

Und jetzt kann man sich z.B. die Identität nehmen in SN und dann die die Elemente umnummerieren mit f:

Id_N

1 -> 1
2 -> 2
3 -> 3

Umnummerieren liefert:

g
8 -> 8
7 -> 7
6 -> 6

Und hier erkennt man etwas recht wesentliches. Was ist denn g?

Ich will ja Dir die "Birne" verschaffen, die Du wolltest... Smile
DonMikone
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Anmeldungsdatum: 06.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 25 Nov 2005 - 16:43:50    Titel:

Hey.

Wow, das ist mal eine gute Beschreibung.
Vielen Dank, ich hab's verstanden. Mein Problem ist immer, dass wir solche trivialen Sachen beweisen müssen, was mich tierisch irritiert.

Vielen Dank, gutes Beispiel.
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