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Grenzwertberechnung ohne Regel von l`Hopital
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Dano
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Anmeldungsdatum: 21.11.2005
Beiträge: 93

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 14:38:23    Titel: Grenzwertberechnung ohne Regel von l`Hopital

a.) lim (x gegen 0) (1-cos x)/x^2

b.) lim (x gegen 1) (x^3-3*x+2)/(x^4-4*x+3)
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 14:43:40    Titel: Re: Grenzwertberechnung ohne Regel von l`Hopital

Dano hat folgendes geschrieben:
a.) lim (x gegen 0) (1-cos x)/x^2


--> Das geht mit dem Satz für Grenzwerte mit beschränkten Funktionen...

Dano hat folgendes geschrieben:
b.) lim (x gegen 1) (x^3-3*x+2)/(x^4-4*x+3)


--> Eine Grenzwertumgebung einführen, also die Grenze ersetzen...
--> x=(1+h) und x=(1-h) und das für h->0

lim (h gegen 0) ((1+h)³ - 3*(1+h) + 2) / ((1+h)^4 - 4*(1+h) + 3)
Dano
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Anmeldungsdatum: 21.11.2005
Beiträge: 93

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 14:54:24    Titel:

Kannst du mir des bitte genauer erklären?
ad_
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:18:45    Titel:

zu a)
Ziel: zurückführen auf lim (x gegen 0) sin(x)/x = 1

zu b)
Polynomdivision durch die NS im Zähler und Nenner
Dano
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Anmeldungsdatum: 21.11.2005
Beiträge: 93

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:23:59    Titel:

Hab schon versucht die a irgendwie umzuwandeln. komm aber net weiter. kannst du mir bitte sagen wie du auf dein Ergebnis kommst?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:28:30    Titel:

Also ist doch etwas komplizierter als ich dachte:

Also erstmal kommen ein paar wilde Umformungen:

lim (x gegen 0) (1-cos(x))/x^2 =
lim (x gegen 0) ((1-cos(x))*(1+cos(x))) / (x² * (1+cos(x))) =
lim (x gegen 0) (1-cos²(x)) / (x² * (1+cos(x))) =
lim (x gegen 0) sin²(x) / (x² * (1+cos(x))) =
lim (x gegen 0) sin²(x) / x² * 1/(1+cos(x)) =
lim (x gegen 0) (sin(x) / x)² * 1/(1+cos(x))

Jetzt sind wir schon fast auf der sicheren Seite, wir müssen nur noch zeigen:
lim (x gegen 0) sin(x)/x = ?

Dazu verwenden wir den sogenannten Einschliessungssatz:
Für 0<x<Pi/2 gilt:
(kann man sich graphisch klar machen)

tan(x) >= x > sin(x) |:sin(x)
1/cos(x) >= x/sin(x) > 1 | davon jetzt der Kehrwert
cos(x) <= sin(x)/x < 1

lim(x gegen 0) cos(x) <= lim(x gegen 0) sin(x)/x < 1
1 <= lim(x gegen 0) sin(x)/x < 1

Daraus folgt: lim(x gegen 0) sin(x)/x = 1

Und damit bekommen wir für:
lim (x gegen 0) (sin(x) / x)² * 1/(1+cos(x)) = 1/2
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:42:04    Titel:

lim (h gegen 0) ((1+h)³ - 3*(1+h) + 2) / ((1+h)^4 - 4*(1+h) + 3) =
lim (h gegen 0) ((1+3h²+3h+h³-3-3h+2) / (1+4h³+6h²+4h+h^4-4-4h+3) =
lim (h gegen 0) ((3h²+h³) / (4h³+6h²+h^4) =
lim (h gegen 0) (h²(3+h) / h²(4h+6+h²) =
lim (h gegen 0) (3+h) / (4h+6+h²) = 3/6 = 1/2
Dano
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Anmeldungsdatum: 21.11.2005
Beiträge: 93

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:47:14    Titel:

oje, sieht des komliziert aus!!!
Eine einfacher Lösung gibts wohl nicht oder? Weil von diesem Satz, den du da verwendest hab ich bis jetzt noch nix gehört.
Aber trotzdem danke!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 16:57:21    Titel:

Vielleicht gibt es noch einen einfacheren Weg, ich habe keinen gefunden...

Aber schön kompliziert ist dem Mathematiker am Liebsten... Shocked
Dano
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Anmeldungsdatum: 21.11.2005
Beiträge: 93

BeitragVerfasst am: 26 Nov 2005 - 17:03:24    Titel:

Die Lösung für die b hab ich mittlerweile auch auf einem einfacheren Weg, ohne h-Methode rausbekommen.
Versuch dann mal deine Lösung für die a zu verstehen,
Danke!
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