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[b]basis c-vektorraum menge der polynome- [/b]
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> [b]basis c-vektorraum menge der polynome- [/b]
 
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tom.bg
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 10:57:00    Titel: [b]basis c-vektorraum menge der polynome- [/b]

hallöchen
habe ne aufgabe:
sei n aus N ein körper. wir bezeichnen mit K<=n[t] die menge der polynome
von grad <=n
a) geben sie eine basis des C-vektorraums C<=n[t] an
b) man fasse C<=n[t] als R-vektorraum auf. geben sie eine basis des raums an
beweisen sie jeweils ihre aussage


naja ich weiss schon nicht mehr wie ich heisse Shocked Question Exclamation Exclamation Exclamation
in a) weiss ich dass basis ist : {1,t,t^2,t^3,...,t^n} aber stimmt so für C-vektorraums ? wie kann ich dass beweisen?
in b) ist noch besser wo liegt unterschied zwieschen C<=n[t] als C-vektorraums und als R-vektorraums?

bitte hilft mir jemand ich brauche punkten für diese aufgabe aber hab ich nicht dass geringste ahnung wie soll ich diese "etwas" lösen

ich gebe noch link zu diese aufgabe : http://www.math.tu-berlin.de/~dereich/LinAlg/ueb5.pdf
aufgabe 3

ich bin dankbar für jede hilfe
[/b]
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 12:49:01    Titel:

Zitat:
naja ich weiss schon nicht mehr wie ich heisse


Das ist ungünstig. Ich würde zunächst dieses Problem lösen: Smile

Zitat:
in a) weiss ich dass basis ist : {1,t,t^2,t^3,...,t^n} aber stimmt so für C-vektorraums ?


Du musst ja per Definition jeden Vektor aus deinem Raum erzeugen können und durch Hinzunahme eines weiteren Vektors z.B. lineare Abhängigkeit reinbekommen. Die erzeugenden Eigenschaft ist offensichtlich erfüllt. Und für die lin. (Un)abhängigkeit musst halt eine Linarkombination ansetzen. Hier geht es meistens mit dem Nullstellensatz.

Zitat:
in b) ist noch besser wo liegt unterschied zwieschen C<=n[t] als C-vektorraums und als R-vektorraums?


Du hast bei der Skalarmultiplikation jetzt nur reelle Zahlen zur Verfügung und nicht komplexe, wie zuvor. Somit kann man nicht z.B. mit i multiplizieren. Man braucht also zustäzliche Basisvektoren um das Problem auszugleichen, weil man sonst komplexe Koefffizienten mit den alten z.B. nicht mehr erzeugen kann.
tom.bg
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Anmeldungsdatum: 04.11.2005
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 13:17:39    Titel: so ist ok?

vielen dank Very Happy Very Happy

dann a)
basis: {1,t,t^2,t^3,...,t^n}, weil mit (a_x+b_y*i), a_x,b_y aus(0...n) multiplizieren bekomme ich jede komplexe polynom
unabhängigkeit:
Summe von k=0 bis n aus(a_k*t^n )=0 <=> a_k=0 für alle k aus (0...n)

b)

basis: {1,i,t, i*t,t^2,i*t^2,...,t^n,i*t^n}
unabhängigkeit genauso wie oben


hab ich dass gut verstanden?
aber wie eindeutig zeige ich erzeugende eigenschaft (damit hab ich immer probleme)
Rolling Eyes
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 13:33:51    Titel:

Das tut man immer auf die gleiche Art und Weise:

Sei v in V. (*) Wähle lambda_1 ... lambda_2. Dann gilt

v = lambda_1 v_1 + ... + lambda_n v_n.

qed.

Bei (*) steckt die Arbeit.
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