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Unterraum
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mojo jojo
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 12:48:50    Titel: Unterraum

Hallo zusammen!

Ich hab eine Aufgabe, die ich nicht lösen kann:

Sei U := ((x,y,z) € K^3 : x+y+z=0)
a) Beweisen Sie, dass U Teilmenge K^3 Unterraum ist
b) Beweisen Sie, dass U = K * (1,0,-1) + K * ( 0,1,-1) gilt
c) Beweisen Sie, dass U + K * (1,1,1) = K^3 gilt

Ich glaube, Aufgabe a) ist überhaupt nicht schwer, aber ich kann die Unterraumkriterien einfach nicht anwenden.
Ist 0 € U, weil x+y+z = 0 ist?
Und wie zeige ich, dass x+y und lambda*X € U ist?

Bei b) hätte ich höchstens noch die Idee, dass man mit 1+0+(-1) = 0 das erste Kriterium beweisen kann, aber dann hört's echt schon auf. Ich wäre wirklich dankbar für einen Hinweis.
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Anmeldungsdatum: 29.10.2005
Beiträge: 167

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 19:11:32    Titel:

Nun vielleicht hlift das weiter.

Für jedes Element a aus U gilt,
1. a ist Element von K^3
Folge: a ist ein Vektor mit drei Komponenten (x,y,z) wobei x,y,z aus K sind.
2. wenn a=(x,y,z) so gilt x+y+z=0


Jetzt soll man zeigen, dass der Nullvektor des K^3, der Vektor (0,0,0) Element von U ist.
Ja, denn es gilt 0+0+0 = 0.

Als nächstes zeigt man Abgeschlossenheit der Addition:
a,b beliebig aus U.
Dann gilt
a= (x,y,z)
b= (x', y', z')
a+b = ........ = (r,t,z)
Jetzt prüft man ob der Vektor (r,t,z) ein Element von U ist.

Dann nimmt man beliebiges lambda aus K und beliebiges Element a aus U.
Und prüft nach ob lambda * a ein Element von U ist.

Für die b) nimmt man ein beliebiges Element a aus U und prüft ob ein alpha und ein beta aus K ex. sodass
a = alpha * (1,0, -1) + beta * (0,1,-1)
Hinweis:
für a gilt:
a= (x,y,z) mit x+y+z=0 <=> z=-x-y und x,y,z aus K
also gilt
a= (x,y,-x-y) und x,y aus K
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