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Help Please (quadratische Funktionen)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Help Please (quadratische Funktionen)
 
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HI
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 20:36:38    Titel: Help Please (quadratische Funktionen)

KANN MIR BITTE JEMAND DIE AUFGABEN VORRECHNEN ICH KOMM NOCH NICHT WIRKLICH DAMIT KLAR !!!!

Crying or Very sad

1.) Von einer quadratischen Funktion f(x) ist der Scheitelpunkt S(2/4,5) bekannt. der Graph dieser Funktion wird im Punkt A(4/2,5) von einer Geraden g(x) mit dem Anstieg m= 1 geschnitten

a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für f(x) und g(x) !

b) Berechnen Sie den zweiten punkt B, in dem sich die graphen von f(x) und g(x) schneiden

c)Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und g(x)

2.)Skizieren Sie von folgen der gebrochenrationaler Funktion den Graphen ! Berechnen Sie dazu alle Achsschnittpunkte , Pollstellen und Lücken, die Asymptote und das Annäherungsverhalten an die Asymptote im undendlichen.

z(x) x³ - 5x² + 2x + 8
y= _____ = ____________________
N(x) -2x³ + 2x² + 2x - 2


HOFFE JEMAND KANN MIR HELFEN DANKE SCHÖN IN VORAUS Very Happy
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 22:05:44    Titel:

1.) Von einer quadratischen Funktion f(x) ist der Scheitelpunkt S(2/4,5) bekannt. der Graph dieser Funktion wird im Punkt A(4/2,5) von einer Geraden g(x) mit dem Anstieg m= 1 geschnitten

a) Ermitteln Sie die Funktionsgleichung für f(x) und g(x) !


Zur Bestimmung von f(x):

- f(x) ist ein Term der Form:
f(x)=ax^2+bx+c
- Die erste Ableitung lautet:
f'(X)=2ax+b

I) S(2/4,5)
=> f'(2)=0=2a*2+b

II) A(4/2,5)
=> f(4)=2,5=16a+4b+c

III) S(2/4,5)
=> f(2)=4,5=4a+2b+c

Aus I) => I') b= -4a

I') in II): 2,5=16a+4(-4a)+c =>c=2,5
I') in III): 4,5=4a+2(-4a)+c => 4,5=c-4a; mit c=2,5 folgt: 4,5=2,5-4a
=>a=-0,5

a in I') eingesetzt ergibt: b=-4*(-0,5)=2

Demnach lautet f(x)=-0,5x^2 + 2x +2,5.

Zur Bestimmung von g(x):

- g(x) ist ein Term der Form:
g(x)=mx+c
- Die erste Ableitung lautet:
g'(x)=m

f(x) wird im Punkt A(4/2,5) von einer Geraden g(x) mit dem Anstieg m= 1 geschnitten
=> I) g(4)=2,5=4m+c
und II) g'(4)=1=m

II) in I): g(4)=2,5=4*1+c => c=-1,5

Demnach lautet g(x)=x-1,5.



Nun zu b) Berechnen Sie den zweiten punkt B, in dem sich die graphen von f(x) und g(x) schneiden:

f(x)=g(x)

-0,5x^2 + 2x +2,5 = x - 1,5

0=0,5x^2 -x -4
0=x^2 -2x -8

Mitternachtsformel ergibt: x1=-2; x2=4
=>der zusätzliche Schnittpunkt liegt bei x1=-2

Zu c)Zeichnen Sie die Graphen von f(x) und g(x):

Das kannst du ja wohl spätestens jetzt selbst.

2.)Skizieren Sie von folgen der gebrochenrationaler Funktion den Graphen ! Berechnen Sie dazu alle Achsschnittpunkte , Pollstellen und Lücken, die Asymptote und das Annäherungsverhalten an die Asymptote im undendlichen.

z(x) x³ - 5x² + 2x + 8
y= _____ = ____________________
N(x) -2x³ + 2x² + 2x - 2

2.) Mach ich heute nicht mehr.

HOFFE JEMAND KANN MIR HELFEN DANKE SCHÖN IN VORAUS
HI
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2005 - 22:32:08    Titel:

dankeschön für 1) würdemich noch sehr freuen wenn mir jemand 2) zeigt Very Happy
BBFan18
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Anmeldungsdatum: 24.10.2005
Beiträge: 1791
Wohnort: Hilden

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 03:09:57    Titel:

wie wäre es mal mit IRGEND WAS AN ANSATZ. Und nicht einfach nur die Lösungen abschreiben wollen!
HI
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Anmeldungsdatum: 27.11.2005
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 07:19:04    Titel:

ich will die lösung ja net einfach abschreiben. ich nehme es als rechenbeispiel. das ich es verstehe!!! bei 1) seh ich schon langsam durch Very Happy . aber bei2) seh ich noch garnet durch Crying or Very sad
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 08:43:04    Titel:

achsschnittpunkte müsstest du eigentlich selbst hinbekommen
einmal x=0 setzen und einmal y=0

lücken ebenfalls, nenner h=0 setzen - denn man darf ja bekanntlich nicht durch 0 teilen, also ist dort eine definitionslücke
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 11:23:10    Titel:

HI hat folgendes geschrieben:
ich will die lösung ja net einfach abschreiben. ich nehme es als rechenbeispiel. das ich es verstehe!!! bei 1) seh ich schon langsam durch :D . aber bei2) seh ich noch garnet durch :cry:


Jaja als Rechenbeispiel...
Glaub ich net... Da hast Du sicher schon genug Beispiele hier im Forum, musst nur suchen...

Und bringen wird Dir das mit Sicherheit nicht viel, wenn Du Dich an einem Beispiel entlang hangelst...

Besser wäre es doch, wenn Du versuchen würdest das Ganze zu verstehen, was do vor sich geht, wie man was und warum berechnet...
Der Zusammenhang ist wichtig, nicht wie man es macht...

Also versuch es doch einmal selber, schreib Deine Lösung hier rein, ich weiss das es viel zu tippen sein kann, wenn man das ausfürhlich machen will...
Aber eine gute Erklärung hier im Forum von den anderen ist auch nicht wenig Arbeit, und wir wollen ja helfen, das können wir aber nur, wenn wir sehen, was Du genau nicht verstehst...
Vorallem sehen wir dann auch, dass es jemanden interessiert, dass er sich damit beschäftigt !!!
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 22:07:45    Titel:

Ihr habt schon Recht, es wäre besser alles selbst zu erkunden, aber oft steht hinter solchen Aufrufen ein stressiger Lehrer o. Prof (bzw. deren eckelhafte Klausuren). Formeln und Zahlen sagen zudem in Mathe oft mehr als tausend Worte (war und ist bei mir zumindest oft so).

Aber wer selbst seine Zeichnungen noch gemacht wissen will???

Verdammt, ihr habt ja sowas von recht..........
miriam84
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Anmeldungsdatum: 02.11.2005
Beiträge: 561
Wohnort: Wuppertal

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 22:11:02    Titel:

HI kann sich ja mal an der aufgabe 2 versuchen und dann mal hier reinschreiben was sich dabei ergeben hat
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 11:36:17    Titel:

Also gut... Wenn es denn sein muss...

x³ - 5x² + 2x + 8
-2x³ + 2x² + 2x - 2

Also schauen wir erstmal was der Nenner, als N(x) so alles kann...

-2x³ + 2x² + 2x - 2 = 0

Man sieht recht einfach, das x = 1 und x = -1 Lösung ist (wegen der 2er)...
Also machen wir eine Zerlegung in Linearfaktoren:

(x - 1)*(x + 1) = x² - 1
(-2x³ + 2x² + 2x - 2) : (x² - 1) = -2x + 2
-(-2x³ + 2x)
2x² - 2
-(2x² - 2)
0

Also bekommen wir:

N(x) = (x - 1)(x + 1)(2 - 2x)
N(x) = -2(x - 1)(x + 1)(x - 1)
N(x) = -2(x - 1)²(x + 1)

Das bedeutet wir haben 3 Definitionslücken x1/2 = 1 und x3 = -1

Jetzt schauen wir und den Zähler an, also Z(x):

Z(x) = x³ - 5x² + 2x + 8

Jetzt liegt die Vermutung nahe, das eine der Nennernullstellen auch eine der Zählernullstellen ist, das siht man, wenn man sich die Funktion genau anschaut, oder man probiert einfach mal ein bischen rum...
Probieren wir:

x1/2 = 1: 1 - 5 + 2 + 8 = 6 --> PASST NICHT !!!
x3 = -1: -1 - 5 - 2 + 8 = 0 --> PASST !!!

Also wieder die Zerlegung in Linearfaktoren:

(x³ - 5x² + 2x + 8) : (x + 1) = x² - 6x + 8
-(x³ + x²)
-6x² + 2x + 8
-(-6x² - 6x)
8x + 8
-(8x + 8)
0

Damit bekommen wir Z(x) = (x + 1)(x² - 6x + 8)
Das reicht und aber nicht, also nehmen wir die p,q-Formel oder die Mitternachtsformel, um die restlichen Zählernullstellen zu bestimmen:
p,q-Formel
Mitternachtsformel

x² - 6x + 8 = 0
x4/5 = 3 +- Wurzel((36/4) - 8)
x4/5 = 3 +- 1
x4 = 4
x5 = 2

Damit ist jetzt Z(x) = (x + 1)(x - 4)(x - 2)

Und unsere gebrochenrationale Funktion sieht so aus:
f(x) = ( (x + 1)(x - 4)(x - 2) ) / ( -2(x - 1)²(x + 1) )

Also, was haben wir bis jetzt:
Zähernullstellen, also Schnittpunkte mit der x-Achse:
N1( 2 / 0 ) und N2( 4 / 0 )

Doppelte Nennernullstelle bei x1/2 = 1
Das ist eine senkrechte Asymptote bei x = 1

Untersuchen wir den Grenzwert an dieser Stelle:
von links: lim(x->1-)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -oo
von rechts: lim(x->1+)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -oo
Also haben wir eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel.

Was wir jetzt noch haben, ist x = -1, gleichzeitig Nenner- als auch Zählernullstelle.
Prüfen wir also, ob diese Stelle eine hebbare Definitionslücke ist:
von links: lim(x->-1-)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -(15/8)
von links: lim(x->-1+)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -(15/8)

Damit können wir jetzt unsere Funktion etwas vereinfacht schreiben:
f(x) = ( (x - 4)(x - 2) ) / ( -2(x - 1)² )

Was uns jetzt noch fehlt ist der Schnittpunkt mit der y-Achse:
f(0) = ( (0 - 4)(0 - 2) ) / ( -2(0 - 1)² ) = 8 / -2 = -4 --> S( 0 / -4 )

Und es fehlt uns noch die letzte Asymptote (waagrecht oder schief)
Da Zählergrad = Nennergrad wird es eine waagrechte Asymptote sein !!!
Wir können dies zeigen mit dem Grenzwert:
lim(x->oo)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -1/2
lim(x->-oo)(x³ - 5x² + 2x + 8) / (-2x³ + 2x² + 2x - 2) = -1/2

Wenn wir jetzt alles was wir haben mal in ein Bildchen zeichnen, sieht das so aus:



Also haben wir eine Tendenz wie die Funktion aussehen muss !!!

Zeichnet man diese richtig, sieht sie so aus:



Ich hoffe, das ich Dir jetzt eine einigermassen gute Anleitung gebracht habe... Falls Du noch Fragen hast... Kennst ja den Weg !?!
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