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Problem mit linearer unabhaengigkeit
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ginkgo
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Anmeldungsdatum: 16.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 22:07:59    Titel: Problem mit linearer unabhaengigkeit

Es ist zu zeigen ob Folgende Vektoren eine Basis bilden.

a = (1 1 0 0), b = (1 0 1 0), c = (1 0 0 1), d = (1 1 1 1)

Ich werde jetzt einmal beschreiben wie ich es machen wuerde, bitte ausbessern falls fehler,

Also, n Vektoren koennen nur eine Basis bilden, wenn diese linear Unabhaengig sind, dh ich muss zeigen das diese Vektoren linear unabhaengig sind.
Linear unabhaengig sind sie, wenn die linearkombination daraus den Nullvektor ergibt, und dies nur moeglich ist, wenn alle Skalare den Wert null haben.
Sprich SKALAR1 * a + SKALAR2*b + SKALAR3*c + SKALAR4*d = 0Vektor
Nun hole ich mir die Werte der Skalare mittels einer basistransformation:
a | b | c |d |0vektor

ich tausche die vektoren a,b,c,d nach der reihe in die basis und kucke mir am ende die "Koordinaten" (Werte) von 0vektor an. Wenn diese alle den Wert 0 haben heisst das die Skalare sind null (Weil diese nullen fuer die Skalare stehen) und somit sind die Vektoren linear unabhaengig.

Das Problem ist nun, bei mir sind nicht alle Skalare = 0.

Wo liegt der Fehler?
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 22:55:39    Titel:

k1;k2;.....ki := Skalare Größen
v1;v2;.....vi := Vektorielle Größen


Lineare Abhängigkeit:

k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O; wobei die Skalare k1;k2....ki nicht alle zugleich Null sein dürfen.

Bei zwei Vektoren wären diese also kollinear oder parallel.

Bei dreien wären mindestens 2 davon parallel oder alle drei lägen in einer Ebene (wären also komplanar).

Man kann demnach die Abhängigkeit auch durch Spatproduktbildung (über die Determinante aus) je drei der Vektoren überprüfen und dann einen der drei durch einen vierten austauschen, etc. pp. Bei größeren Anzahlen wird das Vertauschen stressig. Bei drei bis vier Vektoren taugts.
Ist das Spatprodukt gleich Null, so spannen die Vektoren also (aufgrund der linearen Abhängigkeit) keinen Raum auf.

Lineare Unabhängigkeit:

k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O; wobei alle Werte k1;k2....ki=0 sein müssen.

Das Spatprodukt ist hier ungleich Null da (aufgrund linearer Unabhängigkeit) ein Raum aufgespannt wird.


Kurzum, die Antwort auf deine eigentlich präzisse Frage lautet:
lineare Abhängigkeit rules, denn die Gleichung k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O gilt ja wenn nicht alle k1;k2....ki zugleich Null sind.
In anderen Worten die Skalare können über Gauss bestimmt werden.
Jetzt aber!!! Oder???? Razz
.
ginkgo
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Anmeldungsdatum: 16.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:03:31    Titel:

also du hast mir eigentlich nur aufgeschrieben was ich schon wusste.
Dann kam dieses Spatprodukt ins Spiel von dem ich noch nie etwas gehoert habe, und auch nicht weiss wie ich es berechne.

Ich wollte eigentlich wissen ob in meiner oben beschriebenen Rechenmethode ein vllt. ein Verstaendnisfehler liegt der dazu fuehrt das ich skalara != 0 bekomme.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:09:56    Titel:

Ich würde es über ein Lineares Gleichungssystem machen:
a = (1 1 0 0), b = (1 0 1 0), c = (1 0 0 1), d = (1 1 1 1)

s1 * a + s2*b + s3*c + s4*d = 0
=> s1+s2+s3+s4 = 0 und
s1+s4 = 0 und
s2+s4 = 0 und
s3+s4 = 0 <=> s4 = -s3

aus s2+s4 = 0 und s4 = -s3 => s2 = s3
aus s1+s4 = 0 und s4 = -s3 => s1 = s3
aus s1+s2+s3+s4 = 0 und s4 = -s3 und s2 = s3 und s1 = s3 => 2*s3 = 0 <=> s3 = 0 und damit s1 = s2 = s3 = s4 = 0
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:11:22    Titel:

Ich kann mich nur nochmal wiederholen:
Die Antwort auf deine Frage lautet:
lineare Abhängigkeit liegt vor, denn die Gleichung k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O gilt ja wenn nicht alle k1;k2....ki zugleich Null sind.
In anderen Worten die Skalare können über Gauss bestimmt werden.
Jetzt aber!!! Oder????

Würde die Gleichung k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O nur im Fall k1;k2....ki=0 gelten wären die Vektoren unabhängig.

Was bitte ist dir da noch unklar???

Entweder alle sind Null oder eben nicht...
ginkgo
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Anmeldungsdatum: 16.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:12:57    Titel:

diese lineare glecihungssystem habe ich in das schema der basistransformation uebernommen.

edit: @ anthropos
ich habs schon verstanden mit entweder alle sind null oder nicht, diese aussage sind ja eben die grundlagen fuer meine berechnungen.
also kann ich davon ausgehen das es sich um einen rechenfehler bei der basistransformation handelt. (?)


Zuletzt bearbeitet von ginkgo am 28 Nov 2005 - 23:15:07, insgesamt einmal bearbeitet
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:14:17    Titel:

Wo ist dann das Problem? Die Lösung steht doch da!
ginkgo
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Anmeldungsdatum: 16.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:15:56    Titel:

ich weiss nicht ob ihr meinen post durchgelesen habt, mein problem war, das die von mir berechneten skalare NICHT ALLE 0 waren.
take
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Anmeldungsdatum: 03.11.2005
Beiträge: 1018

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:17:21    Titel:

Ich habe Dir die Lösung des LGS hingeschrieben, wo nach alle gleich 0 sind.
Wenn Du etwas anderes herrausbekommen hast, würde ich sagen, schreibt mal Deine Rachnung rein und dann können wir schauen, wo der Fehler ist!
annie-bs
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Anmeldungsdatum: 28.11.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:17:24    Titel:

ich bin in der neunten ich will nur eine ganz simple lösung Wink
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