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Problem mit linearer unabhaengigkeit
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anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:20:22    Titel:

Bei gründlichem Lesen wäre dir auch aufgefallen, dass das Spatprodukt eine weitere, dem Verständnis und dem Vorstellungsvermögen dienende, Möglichkeit zur Lösung deines Problems ist. Das geht eben bei wenigen Vektoren schneller.

Du kannst es aber natürlich auch stur nach Gauss lösen und eben wie gesagt überprüfen ob k1*v1+k2*v2+.....+ki*vi=O nur im Fall k1;k2....ki=0 gilt (die Vektoren unabhängig sind) oder auch wenn nicht alle gleich Null sind (die Vektoren sind linear abhängig).


Idea Question
ginkgo
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Anmeldungsdatum: 16.11.2005
Beiträge: 39

BeitragVerfasst am: 28 Nov 2005 - 23:27:08    Titel:

Hier meine basistransformation
unterstrichene sind pivot elemente

edit: sry nicht wirklich lesbar

edit2: ich weiss noch immer nicht wie ich auf ein spatprodukt komme bxw. was das ist
anthropos
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Anmeldungsdatum: 27.09.2005
Beiträge: 68

BeitragVerfasst am: 29 Nov 2005 - 17:56:42    Titel:

Spatprodukt meint eben die Berechnung des Volumens eines Spats.

Ein Quader hat an jeder Ecke die Basis für ein kartisisches Koo.Sys (drei Vektoren die alle im rechten Winkel aufeinanderstehen).

Einen Spat erhälst du, wenn du einen Quader so verformst, dass an jeder der 8 Ecken eine Basis eines affinen Koordinatensystems des IR^3 entsteht (Koo.Sys. aus drei Basisvektoren, die nicht im rechten Winkel aufeinanderstehen).

Am besten du machst dir mal ne Skizze.

Heißen die drei Basisvektoren a,b,c (Vektoren!!!!), so berechnet sich
Vspat=[a(b x c)].

Warum?:

Allgemein: Volumen = Grundfläche * Höhe

b und c spannen die parallelogramförmige Grundfläche auf.
Das Kreuzprodukt b x c ergibt den zugehörigen Normalenvektor n, dessen Betrag gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms ist.
A=Ib x cI = InI

( InI heißt Betrag des Normalenvektors)

Nun noch die Höhe:

Der Winkel zwischen n und a sei alpha. Mit der Kosinus-Winkelfunktion folgt für h:

IhI=IaI*cos(alpha)


Crux: Vspat=A*h=Ib x cI*IaI*cos(alpha)=InI*IaI*cos(alpha)

Vspat ist also das Skalarprodukt aus den Vektoren n und a, da das Skalarprodukt zweier Vektoren gleich dem Produkt ihrer Beträge und dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen ist.

Also kann man Vspat=n*a=a(b x c) schreiben.

Anmerkung:
Da ein Spat aus sechs Vierflächnern besteht, folgt auch die Berechnungsformel für das Volumen eines Vierflächners:

Vtetra=1/6*Vspat.

Eine Pyramide mit parallelogrammförmiger Grundfläche besteht aus 2 Vierflächnern.

Deren Volumen Vp=2*Vtetra=1/3*Vspat.
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